Verifique se o critério das linhas é satisfeito nos sistemas lineares a seguir. Caso não for, permute as linhas do sistema e verifique novamente. O que podemos concluir sobre a convergência da sequência nestes casos?
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares e precisamos verificar se o critério das linhas é satisfeita. Esse critério, também conhecido como dominância diagonal, é importante para garantir que métodos iterativos como o de Jacobi ou Gauss-Seidel vão convergir para uma solução. Para isso, vamos precisar:
Conferir cada linha do sistema para ver se o coeficiente do termo principal (diagonal) é maior que a soma dos demais coeficientes na mesma linha.
Se não estiver satisfeito, tentar trocar as posições das linhas para ver se conseguimos uma matriz diagonalmente dominante.
Com base nisso, concluir se a sequência convergirá.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial para facilitar a análise:
Aqui, identificamos os coeficientes principais de cada linha:
Linha 1: Coeficiente de é 1
Linha 2: Coeficiente de é 2
Linha 3: Coeficiente de é 8
Passo 3
Agora, vamos aplicar o critério da dominância diagonal a cada linha:
Linha 1: vs
Aqui, , então não há dominância diagonal.
Linha 2: vs
Novamente, , sem dominância.
Linha 3: vs
Aqui, , então essa linha satisfaz o critério.
Passo 4
Como as duas primeiras linhas não satisfazem o critério, vamos tentar permutar as linhas para ver se conseguimos uma matriz onde cada linha tenha dominância diagonal.
Vamos trocar a linha 1 com a linha 2:
Agora, verificamos novamente:
Linha 1: vs , satisfaz!
Linha 2: vs , também satisfaz!
Linha 3: vs
Continua satisfazendo.
Resposta
Depois de permutar as linhas, todas as linhas do sistema satisfazem o critério das linhas (dominância diagonal). Portanto, podemos concluir que a sequência converge.