Verifique se o critério das linhas é satisfeito nos sistemas lineares a seguir. Caso não for, permute as linhas do sistema e verifique novamente. O que podemos concluir sobre a convergência da sequência nestes casos?

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares e precisamos verificar se o critério das linhas é satisfeita. Esse critério, também conhecido como dominância diagonal, é importante para garantir que métodos iterativos como o de Jacobi ou Gauss-Seidel vão convergir para uma solução. Para isso, vamos precisar:
  • Conferir cada linha do sistema para ver se o coeficiente do termo principal (diagonal) é maior que a soma dos demais coeficientes na mesma linha.
  • Se não estiver satisfeito, tentar trocar as posições das linhas para ver se conseguimos uma matriz diagonalmente dominante.
  • Com base nisso, concluir se a sequência convergirá.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial para facilitar a análise:
Aqui, identificamos os coeficientes principais de cada linha:
  • Linha 1: Coeficiente de é 1
  • Linha 2: Coeficiente de é 2
  • Linha 3: Coeficiente de é 8

Passo 3

Agora, vamos aplicar o critério da dominância diagonal a cada linha:
  • Linha 1: vs
    Aqui, , então não há dominância diagonal.
  • Linha 2: vs
    Novamente, , sem dominância.
  • Linha 3: vs
    Aqui, , então essa linha satisfaz o critério.

Passo 4

Como as duas primeiras linhas não satisfazem o critério, vamos tentar permutar as linhas para ver se conseguimos uma matriz onde cada linha tenha dominância diagonal.
Vamos trocar a linha 1 com a linha 2:
Agora, verificamos novamente:
  • Linha 1: vs
    , satisfaz!
  • Linha 2: vs
    , também satisfaz!
  • Linha 3: vs
    Continua satisfazendo.

Resposta

Depois de permutar as linhas, todas as linhas do sistema satisfazem o critério das linhas (dominância diagonal). Portanto, podemos concluir que a sequência converge.

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