Consideremos a seguinte função vetorial:
Encontre o comprimento da trajetória da partícula, dada pela função
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial
que descreve a trajetória de uma partícula no espaço tridimensional. O que a gente precisa encontrar aqui é o comprimento dessa trajetória quando
varia de 0 até 1. Para isso, vamos usar um conteúdo de cálculo chamado comprimento de arco de uma função vetorial.
Passo 2
Primeiro, para encontrar o comprimento da trajetória, a gente precisa usar a fórmula do comprimento de arco para funções vetoriais. A fórmula é:
Onde:
-
é o comprimento da trajetória. -
é a derivada da função vetorial . -
é a norma (ou o módulo) da derivada de . -
e são os limites de integração, no nosso caso, 0 e 1.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada da função vetorial
. A função dada é:
Para derivar
, a gente deriva cada componente separadamente em relação a
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a norma de
, que é basicamente o comprimento do vetor
. A fórmula para a norma de um vetor
é:
Aplicando isso na nossa derivada:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que:
Então substituindo na expressão da norma:
Isso significa que a norma de
é uma constante,
.
Passo 6
Agora que temos
, vamos calcular o comprimento da trajetória usando a fórmula do comprimento de arco:
Resposta
O comprimento da trajetória da partícula de
até
é
unidades.
Exercícios relacionados
Dada a superfície
, determinar a reta tangente às curvas da intersecção da superfície com (a) o plano
2, (b) o plano
, no ponto
.
Calcule as integrais impróprias das seguintes funções, concluindo se elas são convergentes ou divergentes:
Consideremos a seguinte função vetorial:
Encontre a norma do vetor médio da função vetorial
, considerando
.
Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de
com o plano
no ponto
.
a)
b)
a)
b)