Consideremos a seguinte função vetorial:
u(x) = (sen x, -cos x, x)
Encontre o comprimento da trajetória da partícula, dada pela função u(x), para 0 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial que descreve a trajetória de uma partícula no espaço tridimensional. O que a gente precisa encontrar aqui é o comprimento dessa trajetória quando varia de 0 até 1. Para isso, vamos usar um conteúdo de cálculo chamado comprimento de arco de uma função vetorial.

Passo 2

Primeiro, para encontrar o comprimento da trajetória, a gente precisa usar a fórmula do comprimento de arco para funções vetoriais. A fórmula é:
Onde:
  • é o comprimento da trajetória.
  • é a derivada da função vetorial .
  • é a norma (ou o módulo) da derivada de .
  • e são os limites de integração, no nosso caso, 0 e 1.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada da função vetorial . A função dada é:
Para derivar , a gente deriva cada componente separadamente em relação a :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a norma de , que é basicamente o comprimento do vetor . A fórmula para a norma de um vetor é:
Aplicando isso na nossa derivada:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que:
Então substituindo na expressão da norma:
Isso significa que a norma de é uma constante, .

Passo 6

Agora que temos , vamos calcular o comprimento da trajetória usando a fórmula do comprimento de arco:

Resposta

O comprimento da trajetória da partícula de até é unidades.

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