Calcule as integrais impróprias a seguir.
Passo 1
Vamos resolver a integral imprópria
. Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com limites infinitos e fazer substituições para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o comportamento da função dentro da integral. Quando
tende a infinito, o termo
domina no denominador, então temos:
Isso significa que, para valores grandes de
, a função se comporta como
. Sabemos que a integral de
de
a
diverge, ou seja, tende ao infinito.
Passo 3
Apesar desse comportamento no infinito, vamos fazer uma substituição para analisar a integral de forma mais rigorosa. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo na integral original:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral em termos de
:
Ao calcular o limite:
Portanto:
Resposta
A integral divergente, ou seja,
tende ao infinito.