Calcule as integrais impróprias a seguir.
integral0^infty x^2raiz1+x^3 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral imprópria . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com limites infinitos e fazer substituições para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o comportamento da função dentro da integral. Quando x^2raiz1+x^3 approx x^2raizx^3 = x^2x^3/2 = x^1/2 tende a infinito, o termo domina no denominador, então temos:
Isso significa que, para valores grandes de , a função se comporta como . Sabemos que a integral de de a diverge, ou seja, tende ao infinito.

Passo 3

Apesar desse comportamento no infinito, vamos fazer uma substituição para analisar a integral de forma mais rigorosa. Vamos definir:
u = 1 + x^3
Então, derivando ambos os lados em relação a du = 3x^2 dx Rightarrow x^2 dx = du3 :
integral0^infty x^2raiz1+x^3 , dx = 13 integralu=1^u=infty 1raizu , du
Substituindo na integral original:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral em termos de 13 integral1^infty u^-1/2 , du = 13 [ 2u^1/2 ]1^infty = 23 ( limu to infty raizu - raiz1 ) :
limu to infty raizu = infty
Ao calcular o limite:
23 (infty - 1) = infty
Portanto:

Resposta

A integral divergente, ou seja, tende ao infinito.

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