A uma mola de constante elástica 1 N/m é atada uma massa de 1 kg . A massa sofre ação de uma força externa de 3 cos(ω t) N. Se a massa é colocada em movimento de sua posição de equilíbrio e com velocidade inicial zero, determine:
a) qual o problema de valor inicial que descreve o movimento da massa;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma mola com constante elástica de presa a uma massa de . Além disso, uma força externa que varia com o tempo, , está agindo sobre essa massa. Queremos encontrar a equação que descreve o movimento dessa massa, considerando que ela parte da posição de equilíbrio com velocidade inicial zero.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de mecânica vibratória e equações diferenciais. Precisaremos aplicar a segunda lei de Newton e entender como as forças agem no sistema massa-mola.

Passo 2

Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à sua massa vezes a aceleração:
No nosso caso, as forças que atuam na massa são a força da mola e a força externa. A força da mola é dada por:
Onde:
  • é a constante elástica da mola.
  • é o deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio.
A força externa é:

Passo 3

Somando as forças, temos:
De acordo com a segunda lei de Newton:
Como a aceleração é a segunda derivada de em relação ao tempo , podemos escrever:

Passo 4

Vamos organizar essa equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial:
Substituindo os valores dados e , a equação fica:

Passo 5

Agora, precisamos adicionar as condições iniciais para completar o problema de valor inicial. Sabemos que:
  • A massa parte da posição de equilíbrio, ou seja, .
  • A velocidade inicial é zero, então a derivada de em relação ao tempo no instante inicial também é zero: .

Resposta

O problema de valor inicial que descreve o movimento da massa é:

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