A uma mola de constante elástica
é atada uma massa de 1 kg . A massa sofre ação de uma força externa de
. Se a massa é colocada em movimento de sua posição de equilíbrio e com velocidade inicial zero, determine:
a) qual o problema de valor inicial que descreve o movimento da massa;
a) qual o problema de valor inicial que descreve o movimento da massa;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma mola com constante elástica de
presa a uma massa de
. Além disso, uma força externa que varia com o tempo,
, está agindo sobre essa massa. Queremos encontrar a equação que descreve o movimento dessa massa, considerando que ela parte da posição de equilíbrio com velocidade inicial zero.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de mecânica vibratória e equações diferenciais. Precisaremos aplicar a segunda lei de Newton e entender como as forças agem no sistema massa-mola.
Passo 2
Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à sua massa vezes a aceleração:
No nosso caso, as forças que atuam na massa são a força da mola e a força externa. A força da mola é dada por:
Onde:
-
é a constante elástica da mola. -
é o deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio.
A força externa é:
Passo 3
Somando as forças, temos:
De acordo com a segunda lei de Newton:
Como a aceleração
é a segunda derivada de
em relação ao tempo
, podemos escrever:
Passo 4
Vamos organizar essa equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial:
Substituindo os valores dados
e
, a equação fica:
Passo 5
Agora, precisamos adicionar as condições iniciais para completar o problema de valor inicial. Sabemos que:
- A massa parte da posição de equilíbrio, ou seja,
. - A velocidade inicial é zero, então a derivada de
em relação ao tempo no instante inicial também é zero: .
Resposta
O problema de valor inicial que descreve o movimento da massa é: