Quais das integrais abaixo são impróprias? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral pra analisar:
. O objetivo aqui é descobrir se essa integral é imprópria ou não. Pra isso, vamos precisar entender o que é uma integral imprópria e identificar se nossa integral se encaixa nessa categoria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. Uma integral é chamada de imprópria quando pelo menos um dos seguintes casos ocorre:
- Limites infinitos: Ou seja, quando a integral vai até o infinito ou vem de menos infinito.
- Descontinuidade no intervalo de integração: Quando a função que estamos integrando tem algum ponto de descontinuidade dentro do intervalo.
Agora, vamos analisar a nossa integral:
.
- Limites de integração: O limite inferior é 0 e o limite superior é
. Aqui, a gente vê que o limite superior é infinito. - Comportamento da função: A função
é contínua para todo , então não tem descontinuidades no intervalo.
Passo 3
Como identificamos que o limite superior da nossa integral é infinito, isso já caracteriza a integral como imprópria. Não tem problema de descontinuidade porque a função
é bem comportada nesse intervalo.
Resposta
A integral
é imprópria porque seu limite superior de integração é infinito.