Beleza, vamos calcular a integral imprópria . Esse tipo de integral faz parte do estudo de integrais impróprias, que envolvem limites infinitos ou descontinuidades. Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor funções racionais em frações mais simples e, depois, aplicar integração básica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que o denominador pode ser fatorado:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa escrever a fração como soma de termos mais simples. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores de que facilitem encontrar e .
Primeiro, coloque :
Agora, coloque :
Então, temos:
Passo 5
Substituímos de volta na integral:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
Passo 6
Então, a integral se torna:
Simplificando, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite quando limx to infty ln(xx + 1) = ln(limx to infty xx + 1) = ln(1) = 0 tende ao infinito e depois subtrair o valor quando ln(11 + 1) = ln(12) = -ln(2) .