Calcule as integrais impróprias a seguir.
integral1^infty 1x^2+x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral imprópria . Esse tipo de integral faz parte do estudo de integrais impróprias, que envolvem limites infinitos ou descontinuidades. Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor funções racionais em frações mais simples e, depois, aplicar integração básica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que o denominador x^2 + x = x(x + 1) pode ser fatorado:
integral1^infty 1x(x + 1) , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 1x(x + 1) = Ax + Bx + 1 em frações parciais. Isso significa escrever a fração como soma de termos mais simples. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 1 = A(x + 1) + Bx para eliminar os denominadores:
1 = A(0 + 1) + B(0) Rightarrow A = 1
Agora, vamos escolher valores de 1 = A(-1 + 1) + B(-1) Rightarrow 1 = 0 + (-B) Rightarrow B = -1 que facilitem encontrar 1x(x + 1) = 1x - 1x + 1 e .
Primeiro, coloque :
Agora, coloque :
Então, temos:

Passo 5

Substituímos de volta na integral:
integral1^infty ( 1x - 1x + 1 ) , dx
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
integral 1x , dx = ln|x| + C e integral 1x + 1 , dx = ln|x + 1| + C

Passo 6

Então, a integral se torna:
[ ln|x| - ln|x + 1| ]1^infty
Simplificando, temos:
ln(xx + 1) gr|1^infty

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando limx to infty ln(xx + 1) = ln(limx to infty xx + 1) = ln(1) = 0 tende ao infinito e depois subtrair o valor quando ln(11 + 1) = ln(12) = -ln(2) .
Primeiro, o limite quando :
Agora, avalie em :

Resposta

Subtraindo os dois resultados:
0 - (-ln(2)) = ln(2)
Portanto, o valor da integral é .

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