Quais das integrais abaixo são impróprias? Por quê?
integral0^pi / 4 cotg x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta quais das integrais abaixo são impróprias e por quê. A integral que temos é:
integral0^pi / 4 cotg x , dx
Vamos precisar entender o que é uma integral imprópria e como identificar se essa integral se encaixa nessa categoria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. Basicamente, é uma integral que possui pelo menos uma das seguintes características:
  1. Intervalo infinito: Quando os limites de integração se estendem até o infinito.
  2. Descontinuidade no intervalo: Quando a função que estamos integrando não está definida ou apresenta um comportamento infinito em algum ponto dentro do intervalo de integração.
No nosso caso, o intervalo de integração é de a , que é limitado, então não temos intervalo infinito. Vamos verificar a segunda condição.

Passo 3

Vamos analisar a função que estamos integrando: cotg x = cos xsin x . Sabemos que:
Essa função apresenta um problema quando o denominador é zero, ou seja, quando . Isso ocorre em

Passo 4

No nosso intervalo de integração, a , observamos que em , , o que faz com que seja indefinido (vai para infinito). Portanto, a função tem uma descontinuidade em .

Passo 5

Como a função integral0^pi / 4 cotg x , dx se torna infinita em um dos limites de integração ( ), a integral:
é considerada imprópria.

Resposta

A integral é imprópria porque a função é indefinida (tende ao infinito) em , que é um dos limites de integração.

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