Quais das integrais abaixo são impróprias? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta quais das integrais abaixo são impróprias e por quê. A integral que temos é:
Vamos precisar entender o que é uma integral imprópria e como identificar se essa integral se encaixa nessa categoria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. Basicamente, é uma integral que possui pelo menos uma das seguintes características:
- Intervalo infinito: Quando os limites de integração se estendem até o infinito.
- Descontinuidade no intervalo: Quando a função que estamos integrando não está definida ou apresenta um comportamento infinito em algum ponto dentro do intervalo de integração.
No nosso caso, o intervalo de integração é de
a
, que é limitado, então não temos intervalo infinito. Vamos verificar a segunda condição.
Passo 3
Vamos analisar a função que estamos integrando:
. Sabemos que:
Essa função apresenta um problema quando o denominador é zero, ou seja, quando
. Isso ocorre em
Passo 4
No nosso intervalo de integração,
a
, observamos que em
,
, o que faz com que
seja indefinido (vai para infinito). Portanto, a função
tem uma descontinuidade em
.
Passo 5
Como a função
se torna infinita em um dos limites de integração (
), a integral:
é considerada imprópria.
Resposta
A integral
é imprópria porque a função
é indefinida (tende ao infinito) em
, que é um dos limites de integração.