Encontre d Fd x, sendo F(x)=integrala^x g(t) d t, g(u)=integrala^u h(t) d t e h(u)=11-u+u^2-u^3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar d Fd x, onde:
  • F(x) = integrala^x g(t) , dt
  • g(u) = integrala^u h(t) , dt
  • h(u) = 11 - u + u^2 - u^3
Conteúdo envolvido: Cálculo Diferencial, especificamente a Regra da Cadeia e o Teorema Fundamental do Cálculo. Precisaremos aplicar derivação de integrais definidas e entender como funções compostas se comportam ao serem diferenciadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é F(x). Ele é definido como a integral de g(t) de a até x. Para encontrar d Fd x, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que a derivada de uma integral definida em relação ao seu limite superior é a função integranda avaliada nesse limite.
Então, d Fd x = g(x).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar g(x). Sabemos que:
g(u) = integrala^u h(t) , dt
Queremos expressar g(x), então substituímos u por x:
g(x) = integrala^x h(t) , dt

Passo 4

Para encontrar d Fd x = g(x), já temos que g(x) é uma integral de h(t) de a a x. Aplicando novamente o Teorema Fundamental do Cálculo na função g(x), temos:
d gd x = h(x)

Passo 5

No entanto, nosso objetivo é encontrar d Fd x, que já determinamos ser igual a g(x). Portanto, a resposta final é simplesmente:
d Fd x = integrala^x 11 - t + t^2 - t^3 , dt

Resposta

d Fd x = integrala^x 11 - t + t^2 - t^3 , dt

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