Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as antiderivadas das funções dadas. Isso faz parte do cálculo integral, mais especificamente da busca pelas primitivas das funções. Para isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração, como a fórmula da integral do arco tangente para a primeira função e a integração por partes para a segunda função. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função
.
Aqui, reconhecemos que a função se assemelha à forma da integral do arco tangente. A fórmula que vamos usar é:
Onde
é uma constante.
Passo 3
Aplicando essa fórmula à nossa função
, temos que
, então
.
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a antiderivada da função .
Para essa função, vamos usar a técnica de integração por partes. Lembre-se que a integração por partes é baseada na fórmula:
Escolhemos
e
de forma estratégica para facilitar a integração.
Passo 5
Vamos definir:
-
(então, ) - (então,
)
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos calcular
. Vamos chamar essa integral de
.
Aplicando novamente a integração por partes:
-
(então, ) -
(então, )
Então:
Perceba que temos a mesma integral que começamos, , que chamamos de
. Portanto:
Resolvendo para
:
Passo 7
Voltando à nossa expressão original:
Resposta
As antiderivadas das funções são:
e
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Encontre
, sendo
e
.
Calcule as integrais impróprias, verificando se convergem: