Calcule as integrais indefinida
integral sen(3 x) cos (7 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos trabalhando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que facilita a integração de produtos de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma. A identidade é:
sin(A) cos(B) = sin(A + B) + sin(A - B)2
Essa identidade vai nos ajudar a simplificar o produto em termos de funções mais fáceis de integrar.

Passo 3

Aplicando a identidade com sin(3x) cos(7x) = sin(3x + 7x) + sin(3x - 7x)2 = sin(10x) + sin(-4x)2 e sin(10x) - sin(4x)2 :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, a integral fica mais simples:
integral sin(3x) cos(7x) , dx = 12 integral ( sin(10x) - sin(4x) ) , dx
Vamos integrar termo a termo. A integral de é .

Passo 5

Integrando cada termo:
12 ( -cos(10x)10 + cos(4x)4 ) + C
Simplificando os coeficientes:
- cos(10x)20 + cos(4x)8 + C

Resposta

A integral indefinida é:
-cos(10x)20 + cos(4x)8 + C

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