Calcule as integrais indefinida
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral indefinida de
. Isso está relacionado ao estudo de integrais de funções trigonométricas, especificamente envolvendo a tangente. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que relaciona
com
:
Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão da integral.
Passo 3
Agora, vamos reescrever
usando a identidade acima:
Vamos expandir isso para facilitar a integração:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na integral:
Isso quebra a integral original em três partes mais simples.
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 6
Para integrar
, usamos uma identidade adicional:
Então,
Isso nos permite usar substituição para resolver a integral.
Passo 7
Vamos usar a substituição
, então
. Aplicando isso:
E,
Passo 8
Portanto, juntando tudo:
Passo 9
Agora, vamos integrar os outros termos:
e
Passo 10
Finalmente, somamos todas as integrais:
Simplificando os termos semelhantes:
Resposta
A integral de
é:
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Use integração por partes para provar as seguintes relações de igualdade.
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