Calcule as integrais indefinida
integral tg^4(x) d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral indefinida de tan^4(x) , dx. Isso está relacionado ao estudo de integrais de funções trigonométricas, especificamente envolvendo a tangente. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que relaciona tan^2(x) com sec^2(x):
tan^2(x) = sec^2(x) - 1
Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão da integral.

Passo 3

Agora, vamos reescrever tan^4(x) usando a identidade acima:
tan^4(x) = (tan^2(x))^2 = (sec^2(x) - 1)^2
Vamos expandir isso para facilitar a integração:
(sec^2(x) - 1)^2 = sec^4(x) - 2sec^2(x) + 1

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral:
integral tan^4(x) , dx = integral (sec^4(x) - 2sec^2(x) + 1) , dx
Isso quebra a integral original em três partes mais simples.

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral sec^4(x) , dx
  2. integral -2sec^2(x) , dx
  3. integral 1 , dx

Passo 6

Para integrar sec^4(x), usamos uma identidade adicional:
sec^4(x) = tan^2(x) sec^2(x) + sec^2(x)
Então,
integral sec^4(x) , dx = integral (tan^2(x) sec^2(x) + sec^2(x)) , dx
Isso nos permite usar substituição para resolver a integral.

Passo 7

Vamos usar a substituição u = tan(x), então du = sec^2(x) , dx. Aplicando isso:
integral tan^2(x) sec^2(x) , dx = integral u^2 , du = u^33 + C = tan^3(x)3 + C
E,
integral sec^2(x) , dx = tan(x) + C

Passo 8

Portanto, juntando tudo:
integral sec^4(x) , dx = tan^3(x)3 + tan(x) + C

Passo 9

Agora, vamos integrar os outros termos:
integral -2sec^2(x) , dx = -2tan(x) + C
e
integral 1 , dx = x + C

Passo 10

Finalmente, somamos todas as integrais:
integral tan^4(x) , dx = (tan^3(x)3 + tan(x)) - 2tan(x) + x + C
Simplificando os termos semelhantes:
integral tan^4(x) , dx = tan^3(x)3 - tan(x) + x + C

Resposta

A integral de tan^4(x) é:
integral tan^4(x) , dx = tan^3(x)3 - tan(x) + x + C

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