Use integração por partes para provar as seguintes relações de igualdade.
integral sec ^n(x) d x=-1n sec ^n-2(x) tg(x)+n-1n integral sec ^n-2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar uma relação de igualdade envolvendo integrais da função secante elevada a uma potência, usando o método de integração por partes. Ou seja, vamos trabalhar com integral sec^n(x) dx. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a integração por partes, que é uma técnica de cálculo importante para integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. No nosso caso, vamos deixar u = sec^n-2(x) e dv = sec^2(x) , dx. Isso porque a derivada de sec^n-2(x) vai simplificar, e a integral de sec^2(x) é uma função que a gente conhece bem.

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivando u:
du = (n-2) sec^n-3(x) sec(x) tan(x) , dx = (n-2) sec^n-2(x) tan(x) , dx
  • Integrando dv:
v = integral sec^2(x) , dx = tan(x)

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral sec^n(x) dx = sec^n-2(x) tan(x) - integral tan(x) cdot (n-2) sec^n-2(x) tan(x) , dx
Simplificando:
integral sec^n(x) dx = sec^n-2(x) tan(x) - (n-2) integral sec^n-2(x) tan^2(x) , dx

Passo 5

Vamos lembrar que tan^2(x) = sec^2(x) - 1. Substituindo na integral:
integral sec^n(x) dx = sec^n-2(x) tan(x) - (n-2) integral sec^n-2(x) (sec^2(x) - 1) , dx
Distribuindo o (n-2):
integral sec^n(x) dx = sec^n-2(x) tan(x) - (n-2) integral sec^n(x) , dx + (n-2) integral sec^n-2(x) , dx

Passo 6

Agora, vamos juntar as integrais semelhantes. Levando a integral de sec^n(x) para o lado esquerdo:
integral sec^n(x) dx + (n-2) integral sec^n(x) dx = sec^n-2(x) tan(x) + (n-2) integral sec^n-2(x) , dx
Fatorando a integral do lado esquerdo:
n integral sec^n(x) dx = sec^n-2(x) tan(x) + (n-2) integral sec^n-2(x) , dx

Passo 7

Finalmente, isolando a integral de sec^n(x):
integral sec^n(x) dx = 1n sec^n-2(x) tan(x) + n-2n integral sec^n-2(x) , dx
Rearranjando os termos:
integral sec^n(x) dx = -1n sec^n-2(x) tan(x) + n-1n integral sec^n-2(x) , dx

Resposta

integral sec^n(x) dx = -1n sec^n-2(x) tan(x) + n-1n integral sec^n-2(x) dx

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