Use integração por partes para provar as seguintes relações de igualdade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar uma relação de igualdade envolvendo integrais da função secante elevada a uma potência, usando o método de integração por partes. Ou seja, vamos trabalhar com
. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a integração por partes, que é uma técnica de cálculo importante para integrar produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. No nosso caso, vamos deixar
e
. Isso porque a derivada de
vai simplificar, e a integral de
é uma função que a gente conhece bem.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
- Derivando
:
- Integrando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Vamos lembrar que
. Substituindo na integral:
Distribuindo o
:
Passo 6
Agora, vamos juntar as integrais semelhantes. Levando a integral de
para o lado esquerdo:
Fatorando a integral do lado esquerdo:
Passo 7
Finalmente, isolando a integral de
:
Rearranjando os termos:
Resposta
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