Resolva a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Podemos fatorar colocando
em evidência:
Isso nos ajuda a simplificar a fração original.
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. A ideia aqui é expressar a fração original como a soma de duas frações mais simples:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação. Por exemplo:
-
Se
: -
Se
:
Então,
e
.
Passo 5
Agora que temos os valores de
e
, podemos reescrever a fração original:
Isso simplifica a integral para algo mais fácil de lidar.
Passo 6
Vamos agora integrar a expressão decompositada. A integral fica:
Sabemos que
e
. Aplicando isso:
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral definida é igual a
.
Exercícios relacionados
Reescreva as integrais abaixo usando o teorema de frações parciais. Não precisa resolver nem encontrar as constantes
Resolva as seguintes integrais:
Calcule as integrais indefinida
Calcule as integrais indefinida