Resolva a integral integral3^4 2 x-1x^2-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral3^4 2x - 1x^2-2x dx. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 2x. Podemos fatorar colocando x em evidência:
x^2 - 2x = x(x - 2)
Isso nos ajuda a simplificar a fração original.

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 2x - 1x(x - 2) em frações parciais. A ideia aqui é expressar a fração original como a soma de duas frações mais simples:
2x - 1x(x - 2) = Ax + Bx - 2
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação por x(x - 2) para eliminar os denominadores:
2x - 1 = A(x - 2) + Bx
Agora, vamos resolver para A e B. Podemos escolher valores de x que simplifiquem a equação. Por exemplo:
  • Se x = 0:
    2(0) - 1 = A(0 - 2) + B(0) Rightarrow -1 = -2A Rightarrow A = 12
  • Se x = 2:
    2(2) - 1 = A(2 - 2) + B(2) Rightarrow 3 = 2B Rightarrow B = 32
Então, A = 12 e B = 32.

Passo 5

Agora que temos os valores de A e B, podemos reescrever a fração original:
2x - 1x(x - 2) = 12x + 32x - 2 = 12x + 32(x - 2)
Isso simplifica a integral para algo mais fácil de lidar.

Passo 6

Vamos agora integrar a expressão decompositada. A integral fica:
integral3^4 ( 12x + 32(x - 2) ) dx = 12 integral3^4 1x dx + 32 integral3^4 1x - 2 dx
Sabemos que integral 1x dx = ln|x| + C e integral 1x - a dx = ln|x - a| + C. Aplicando isso:
= 12 [ ln|x| ]3^4 + 32 [ ln|x - 2| ]3^4

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
12 ( ln 4 - ln 3 ) + 32 ( ln(4 - 2) - ln(3 - 2) )
Simplificando:
12 (ln 4 - ln 3) + 32 (ln 2 - ln 1)
Sabemos que ln 1 = 0, então:
12 (ln 4 - ln 3) + 32 ln 2

Resposta

A integral definida é igual a 12 (ln 4 - ln 3) + 32 ln 2.

Exercícios relacionados

Reescreva as integrais abaixo usando o teorema de frações parciais. Não precisa resolver nem encontrar as constantes A1, A2
integral-1^0 x^2-4 x+1x^3+x^2+x+1 d x
Resolva as seguintes integrais:
integral0^1 x(x-1)^7 d x
Calcule as integrais indefinida
integral sen(3 x) cos (7 x) d x
Calcule as integrais indefinida
integral tg^4(x) d x