Calcule as integrais indefinida
integral 4 x+1x^2+4 x+12 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral indefinida integral 4x + 1x^2 + 4x + 12 , dx. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Vamos precisar usar técnicas de álgebra para simplificar a expressão e, depois, aplicar regras de cálculo para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador para simplificar a expressão. O denominador é x^2 + 4x + 12. Para completar o quadrado, tomamos a parte quadrática e a parte linear:
x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4
Então, substituímos de volta no denominador:
x^2 + 4x + 12 = (x + 2)^2 - 4 + 12 = (x + 2)^2 + 8

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com o denominador completado:
integral 4x + 1(x + 2)^2 + 8 , dx
Para facilitar, fazemos uma substituição: seja u = x + 2, então du = dx e x = u - 2. Substituindo na integral:
integral 4(u - 2) + 1u^2 + 8 , du = integral 4u - 8 + 1u^2 + 8 , du = integral 4u - 7u^2 + 8 , du

Passo 4

Vamos separar a fração em duas partes:
integral 4uu^2 + 8 , du - integral 7u^2 + 8 , du
Para a primeira integral, notamos que o numerador é a derivada do denominador, então podemos aplicar a regra básica de integração:
integral 4uu^2 + 8 , du = 2 ln|u^2 + 8| + C
Para a segunda integral, reconhecemos que é uma forma padrão que resulta em uma função arco-tangente:
integral 7u^2 + 8 , du = 72raiz2 arctan(u2raiz2) + C

Passo 5

Finalmente, substituímos u = x + 2 de volta na expressão:
2 ln|(x + 2)^2 + 8| - 72raiz2 arctan(x + 22raiz2) + C

Resposta

A integral indefinida é:
2 ln(x^2 + 4x + 12) - 72raiz2 arctan(x + 22raiz2) + C

Exercícios relacionados

Use integração por partes para provar as seguintes relações de igualdade.
integral sec ^n(x) d x=-1n sec ^n-2(x) tg(x)+n-1n integral sec ^n-2(x) d x
Calcule as integrais indefinida
integral tg^4(x) d x
Calcule as integrais indefinida
integral tg^5(x) sec ^2(x) d x
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x , de todos os pares ordenados (x, y) tais que. Desenhe os sólidos de revolução.
x^2 <= y <= x