Calcule as integrais indefinidas abaixo: (2018 / 1) integral sen^5 x cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver, vamos usar uma técnica de substituição que facilita a integração quando temos potências ímpares de seno ou cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral destacando uma potência ímpar do seno:
integral sin^5x cos^2x , dx = integral sin^4x cdot sin x cdot cos^2x , dx
Sabemos que sin^4x = (sin^2x)^2 = (1 - cos^2x)^2 , então:
integral (1 - cos^2x)^2 cdot sin x cdot cos^2x , dx
Substituindo na integral:

Passo 3

Agora, fazemos a substituição. Vamos deixar uma parte da integral pronta para a substituição:
u = cos x Rightarrow du = -sin x , dx
Rearranjando, temos:
sin x , dx = -du
Substituindo na integral:
integral (1 - u^2)^2 cdot u^2 cdot (-du) = -integral (1 - u^2)^2 u^2 , du

Passo 4

Vamos expandir (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :
(1 - 2u^2 + u^4) cdot u^2 = u^2 - 2u^4 + u^6
Multiplicando por -integral (u^2 - 2u^4 + u^6) , du :
Nossa integral fica:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
-( u^33 - 2 cdot u^55 + u^77 ) + C
Simplificando os coeficientes:
-u^33 + 2u^55 - u^77 + C

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo -cos^3x3 + 2cos^5x5 - cos^7x7 + C :

Resposta

A integral indefinida é:
integral sin^5x cos^2x , dx = -cos^3x3 + 2cos^5x5 - cos^7x7 + C

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