Calcule os seguintes limites: lim x 0 sen(k x)x, k neq 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . O que a gente vai usar aqui é sobre limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente o limite fundamental do seno. Precisamos entender como o seno se comporta quando o ângulo está bem perto de zero.

Passo 2

Primeiro, lembrando do limite fundamental: . Esse limite é super útil quando a gente tem uma função seno dividida pelo próprio argumento.

Passo 3

No nosso caso, temos sin(kx)x = sin(kx)kx cdot k ao invés de . Para adaptar isso ao limite que conhecemos, podemos fazer uma pequena manipulação. Vamos multiplicar e dividir por :

Passo 4

Agora, observe que limx to 0 sin(kx)kx = 1 tem a forma do limite fundamental, com no lugar de . Então, podemos aplicar o limite fundamental aqui:

Passo 5

Multiplicando pelo limx to 0 sin(kx)x = limx to 0 ( sin(kx)kx cdot k ) = 1 cdot k = k que ficou fora, temos:

Resposta

O limite é igual a .

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