Calcule as integrais indefinidas abaixo: (2018 / 2) integral x+6x^2-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Primeiro, vamos simplificar essa expressão. O enunciado envolve cálculo de integrais, especificamente uma integral racional onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de decomposição em frações parciais e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Vamos começar simplificando o coeficiente 20182 = 1009 .
1009 integral x+6x^2-4 dx
Portanto, a integral fica:

Passo 3

Observamos que o denominador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
1009 integral x+6(x - 2)(x + 2) dx
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, vamos decompor a fração x+6(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2 em frações parciais. Ou seja, vamos encontrar constantes e tais que:

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por x + 6 = A(x + 2) + B(x - 2) , temos:
x + 6 = A x + 2A + B x - 2B
Expandindo:
x + 6 = (A + B)x + (2A - 2B)
Agrupando os termos:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes correspondentes dos termos:
Para A + B = 1 :
2A - 2B = 6
Para o termo constante:

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Primeira equação:
A + B = 1 Rightarrow B = 1 - A
Substituindo na segunda equação:
2A - 2(1 - A) = 6
2A - 2 + 2A = 6
4A = 8 Rightarrow A = 2
Então:
B = 1 - A = 1 - 2 = -1

Passo 8

Agora que encontramos x+6(x - 2)(x + 2) = 2x - 2 - 1x + 2 e , podemos reescrever a fração:

Passo 9

Substituindo na integral original:
1009 integral ( 2x - 2 - 1x + 2 ) dx
Vamos dividir essa integral em duas partes:
1009 ( 2 integral 1x - 2 dx - integral 1x + 2 dx )

Passo 10

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
integral 1x - a dx = ln|x - a| + C
Aplicando isso:
2 integral 1x - 2 dx = 2 ln|x - 2|
integral 1x + 2 dx = ln|x + 2|

Passo 11

Agora, juntando tudo:
1009 ( 2 ln|x - 2| - ln|x + 2| ) + C
Podemos simplificar ainda mais usando propriedades dos logaritmos:
1009 ln( (x - 2)^2x + 2 ) + C

Resposta

A integral indefinida é igual a
1009 ln( (x - 2)^2x + 2 ) + C
onde é a constante de integração.

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