Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Primeiro, vamos simplificar essa expressão. O enunciado envolve cálculo de integrais, especificamente uma integral racional onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de decomposição em frações parciais e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Vamos começar simplificando o coeficiente
.
Portanto, a integral fica:
Passo 3
Observamos que o denominador
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Ou seja, vamos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Expandindo:
Agrupando os termos:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes correspondentes dos termos:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 8
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever a fração:
Passo 9
Substituindo na integral original:
Vamos dividir essa integral em duas partes:
Passo 10
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso:
Passo 11
Agora, juntando tudo:
Podemos simplificar ainda mais usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
A integral indefinida é igual a
onde
é a constante de integração.