Determine os pontos críticos da função
e investigue a sua natureza.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Queremos encontrar os pontos críticos da função
e depois descobrir que tipo de pontos eles são (como mínimo, máximo ou ponto de sela). Para isso, precisamos usar derivadas parciais e analisar a matriz Hessiana da função.
Passo 2
Vamos começar encontrando as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável varia, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações:
Da primeira equação, podemos isolar
:
Passo 4
Substituímos
na segunda equação:
Isso nos dá duas soluções para
:
Passo 5
Agora, encontramos os valores correspondentes de
:
- Se
:
- Se
:
Passo 6
Agora que temos os pontos críticos, vamos investigar a natureza deles usando a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais da função.
Calculamos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana
é:
Passo 7
Para determinar a natureza dos pontos críticos, calculamos o determinante da matriz Hessiana (
):
Vamos calcular
para cada ponto crítico:
- Ponto (0, 0):
Como
, o ponto é um ponto de sela.
- Ponto (18, 6):
Como
e
, o ponto é um ponto de mínimo.
Resposta
Os pontos críticos são
, que é um ponto de sela, e
, que é um ponto de mínimo.