Determine os pontos críticos da função f(x, y) = x^2 + y^3 - 6 x y e investigue a sua natureza.
R: (0,0) ponto de sela, (18,6) ponto de mínimoí

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Queremos encontrar os pontos críticos da função e depois descobrir que tipo de pontos eles são (como mínimo, máximo ou ponto de sela). Para isso, precisamos usar derivadas parciais e analisar a matriz Hessiana da função.

Passo 2

Vamos começar encontrando as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável varia, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações:
Da primeira equação, podemos isolar :

Passo 4

Substituímos na segunda equação:
Isso nos dá duas soluções para :

Passo 5

Agora, encontramos os valores correspondentes de :
  • Se :
í
  • Se :
í

Passo 6

Agora que temos os pontos críticos, vamos investigar a natureza deles usando a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais da função.
Calculamos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é:

Passo 7

Para determinar a natureza dos pontos críticos, calculamos o determinante da matriz Hessiana ( ):
Vamos calcular para cada ponto crítico:
  • Ponto (0, 0):
Como , o ponto é um ponto de sela.
  • Ponto (18, 6):
Como e , o ponto é um ponto de mínimo.

Resposta

Os pontos críticos são , que é um ponto de sela, e , que é um ponto de mínimo.

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