Calcule as integrais indefinidas abaixo: (2018 / 1) integral xraiz4-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que você enviou: (2018 / 1) integral xraiz4 - x^2 , dx. A matéria aqui envolve integração, especificamente integrais indefinidas e substituição trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções que envolvem raízes quadradas e ver uma técnica de substituição para facilitar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a constante que está multiplicando a integral. Como 2018 / 1 é apenas 2018, podemos reescrever a expressão como:
2018 integral xraiz4 - x^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos focar na integral: integral xraiz4 - x^2 , dx. Para resolver isso, vamos usar uma substituição. A ideia é escolher uma parte da integral para substituir por uma nova variável, o que simplifica a expressão.

Passo 4

Vamos escolher u = 4 - x^2. Então, calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = -2x Rightarrow du = -2x , dx
Isso nos ajuda a substituir a parte da integral que envolve x e dx.

Passo 5

A integral original pode ser reescrita em termos de u:
integral xraizu , dx
Sabemos que du = -2x , dx, então podemos resolver para x , dx:
x , dx = -12 du
Substituindo isso na integral:
integral xraizu , dx = integral -12 duraizu = -12 integral u^-1/2 , du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^-1/2:
integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C
Então, voltando à nossa expressão:
-12 times 2u^1/2 + C = -u^1/2 + C

Passo 7

Lembrando que u = 4 - x^2, substituímos de volta:
-raiz4 - x^2 + C

Passo 8

Agora, não podemos esquecer da constante que estava multiplicando a integral no começo, que era 2018. Então, multiplicamos a solução encontrada por 2018:
2018 times (-raiz4 - x^2) + C = -2018 raiz4 - x^2 + C

Resposta

A integral é igual a -2018,raiz4 - x^2 + C.

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