Calcule as integrais indefinidas abaixo: (2018 / 2) integral sen^2 x cos ^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração envolvendo identidades trigonométricas e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a constante (2018 / 2), que dá 1009. Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte da integral: . Note que integral sen^2 x cos^5 x , dx pode ser escrito como cos^5 x. Isso vai nos ajudar a usar uma identidade trigonométrica para simplificar.

Passo 4

Usamos a identidade . Então, podemos reescrever cos^2 x = 1 - sen^2 x como . Assim, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Seja , então u = sen x. Substituindo na integral:
du = cos x , dx

Passo 6

Expandimos (1 - u^2)^2:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Então, a integral fica:
integral u^2 (1 - 2u^2 + u^4) , du = integral (u^2 - 2u^4 + u^6) , du

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral u^2 , du = u^33
integral -2u^4 , du = -2 cdot u^55 = -2u^55
integral u^6 , du = u^77
Então, a integral acumulada é:
u^33 - 2u^55 + u^77 + C

Passo 8

Agora, substituímos de volta:

Passo 9

Não esqueça de multiplicar pela constante inicial 1009:

Resposta

A integral é igual a:

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