Calcule as integrais indefinidas abaixo: (2022 / 1) integral 1x^2 raizx^2+1 d x.

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular uma integral indefinida que é essa aqui: . Isso está relacionado ao cálculo de integrais na Matemática, especificamente usando técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão dentro da integral e aplicar uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a constante que está na frente da integral. 2022 integral 1x^2 raizx^2+1 , dx é apenas 2022. Então, nossa expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na integral . Para resolver essa integral, uma boa estratégia é usar a substituição trigonométrica ou uma substituição que simplifique o denominador.

Passo 4

Vamos optar por uma substituição que facilite a expressão dentro da raiz. Observe que sugere que podemos usar uma substituição envolvendo . Mas, para simplificar, vamos fazer uma substituição mais direta:
Seja . Então, .
No entanto, isso não simplifica a integral. Então, vamos tentar outra abordagem.

Passo 5

Vamos usar a substituição integral 1x^2 raizx^2+1 , dx = integral 1(1t)^2 raiz(1t)^2 + 1 ( -1t^2 dt ) . Então, e .
Substituindo na integral:

Passo 6

Simplificando a expressão:
integral 11t^2 raiz1t^2 + 1 ( -1t^2 dt ) = integral t^2raiz1 + t^2t^2 ( -1t^2 dt )
Simplificando dentro da raiz:
raiz1 + t^2t^2 = raiz1 + t^2t
Então, temos:
integral t^2raiz1 + t^2t ( -1t^2 dt ) = integral t^3raiz1 + t^2 ( -1t^2 dt ) = -integral traiz1 + t^2 dt

Passo 7

Agora, a integral ficou mais simples: -integral traiz1 + t^2 dt = -integral 1raizv cdot dv2 = -12 integral v^-1/2 dv . Para resolver isso, podemos usar a substituição . Então, , ou seja, .
Substituindo:

Passo 8

Integrando:
-12 integral v^-1/2 dv = -12 cdot 2 v^1/2 + C = -v^1/2 + C
Lembrando que -raiz1 + t^2 + C , temos:
-raiz1 + (1x)^2 + C = -raiz1 + 1x^2 + C = -raizx^2 + 1x + C
E como , substituindo de volta:

Resposta

A integral indefinida é igual a:
-2022 cdot raizx^2 + 1x + C

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