Justifique o limite abaixo utilizando os Teoremas vistos em aula:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcularmos:
Esse exercício envolve conceitos de limites, especialmente usando o Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Estrelas). Vamos precisar entender como o seno se comporta e como podemos estimar essa expressão para chegar ao resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma coisa importante sobre a função seno: para qualquer número real
, o seno está sempre entre -1 e 1. Ou seja:
Aqui,
, então temos:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar todos esses valores por
. Como
é sempre positivo (não importa o valor de
), a desigualdade se mantém:
Passo 4
Dividimos agora essa desigualdade por
. Mas antes disso, precisamos lembrar que, próximo de
, temos outra propriedade importante:
Isso significa que para
perto de 0,
é aproximadamente igual a
.
Passo 5
Usando essa aproximação, podemos reescrever a desigualdade anterior dividindo por
:
A gente sabe que
se comporta como
quando
está próximo de 0, então podemos simplificar isso para:
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema do Sanduíche. A ideia é que se a função que queremos calcular está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite quando
se aproxima de 0, então o limite da nossa função também será esse valor comum.
Aqui, temos:
Portanto, pelo Teorema do Sanduíche:
Resposta
O limite é igual a zero.