Justifique o limite abaixo utilizando os Teoremas vistos em aula:
lim x 0 x^2 sen 1xsen x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcularmos:
lim x 0 x^2 sen 1xsen x=0
Esse exercício envolve conceitos de limites, especialmente usando o Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Estrelas). Vamos precisar entender como o seno se comporta e como podemos estimar essa expressão para chegar ao resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma coisa importante sobre a função seno: para qualquer número real -1 <= sen(t) <= 1 , o seno está sempre entre -1 e 1. Ou seja:
-1 <= sen(1x) <= 1
Aqui, , então temos:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos esses valores por - x^2 <= x^2 sen(1x) <= x^2 . Como é sempre positivo (não importa o valor de ), a desigualdade se mantém:

Passo 4

Dividimos agora essa desigualdade por limx to 0 sen xx = 1 . Mas antes disso, precisamos lembrar que, próximo de , temos outra propriedade importante:
Isso significa que para perto de 0, é aproximadamente igual a .

Passo 5

Usando essa aproximação, podemos reescrever a desigualdade anterior dividindo por -x^2sen x <= x^2 sen(1x)sen x <= x^2sen x :
- x <= x^2 sen(1x)sen x <= x
A gente sabe que se comporta como quando está próximo de 0, então podemos simplificar isso para:

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema do Sanduíche. A ideia é que se a função que queremos calcular está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite quando limx to 0 (-x) = 0 e limx to 0 x = 0 se aproxima de 0, então o limite da nossa função também será esse valor comum.
Aqui, temos:
lim x 0 x^2 sen 1xsen x = 0
Portanto, pelo Teorema do Sanduíche:

Resposta

O limite é igual a zero.
lim x 0 x^2 sen 1xsen x=0

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