Calcule as integrais indefinidas abaixo: (2018 / 1) integral x+1x^2-5 x+6 d x

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral indefinida de (2018 / 1) integral x+1x^2-5 x+6 , dx. Isso envolve cálculo de integrais usando frações parciais. Vamos precisar entender como decompor a fração e depois integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. A constante 2018 pode sair da integral:
2018 integral x + 1x^2 - 5x + 6 , dx

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 5x + 6. Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3. Então:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Passo 4

Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração como soma de frações parciais. Vamos achar constantes A e B tais que:
x + 1(x - 2)(x - 3) = Ax - 2 + Bx - 3

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por (x - 2)(x - 3) para eliminar os denominadores:
x + 1 = A(x - 3) + B(x - 2)

Passo 6

Vamos resolver para A e B. Expanda a expressão:
x + 1 = A x - 3A + B x - 2B
Combine os termos semelhantes:
x + 1 = (A + B)x - (3A + 2B)
Isso nos dá o sistema de equações:
  1. A + B = 1
  2. -3A - 2B = 1

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: B = 1 - A
Substituindo na segunda equação:
-3A - 2(1 - A) = 1 -3A - 2 + 2A = 1 -A - 2 = 1 -A = 3 A = -3
Então, B = 1 - (-3) = 4

Passo 8

Agora que temos A = -3 e B = 4, podemos escrever a fração original como:
x + 1(x - 2)(x - 3) = -3x - 2 + 4x - 3

Passo 9

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
2018 integral ( -3x - 2 + 4x - 3 ) , dx = 2018 ( -3 integral 1x - 2 , dx + 4 integral 1x - 3 , dx )

Passo 10

As integrais de 1x - a são ln|x - a|. Então:
= 2018 ( -3 ln|x - 2| + 4 ln|x - 3| ) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a
2018 ( -3 ln|x - 2| + 4 ln|x - 3| ) + C

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