Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Beleza, a gente tem que calcular a integral indefinida de
. Isso envolve cálculo de integrais usando frações parciais. Vamos precisar entender como decompor a fração e depois integrar cada parte separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. A constante 2018 pode sair da integral:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3. Então:
Passo 4
Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração como soma de frações parciais. Vamos achar constantes
e
tais que:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 6
Vamos resolver para
e
. Expanda a expressão:
Combine os termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 8
Agora que temos
e
, podemos escrever a fração original como:
Passo 9
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Passo 10
As integrais de
são ln|x - a|. Então:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a