Calcule as seguintes integrais indefinidas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, especificamente sobre integração de frações racionais. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais, que ajudam a simplificar expressões racionais antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Fatorar significa escrever o polinômio como um produto de dois binômios. Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então:

Passo 3

Agora, reescrevemos a fração usando frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, vamos achar os valores de e . Podemos fazer isso escolhendo valores convenientes para .
  • Se :
  • Se :

Passo 6

Agora que temos e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:

Passo 7

Simplificamos um pouco mais:

Passo 8

Agora, podemos integrar termo a termo:

Passo 9

As integrais de são logaritmos naturais. Então:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Suponha que
Use os métodos do cálculo para determinar a inclinação da reta tangente à curva de no ponto 1 e compare o resultado com o do item (a).
Calcule os seguintes limites:
Calcule as integrais indefinidas abaixo: