Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, especificamente sobre integração de frações racionais. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais, que ajudam a simplificar expressões racionais antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Fatorar significa escrever o polinômio como um produto de dois binômios. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então:
Passo 3
Agora, reescrevemos a fração
usando frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, vamos achar os valores de
e
. Podemos fazer isso escolhendo valores convenientes para
.
- Se
:
- Se
:
Passo 6
Agora que temos
e
, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Passo 7
Simplificamos um pouco mais:
Passo 8
Agora, podemos integrar termo a termo:
Passo 9
As integrais de
são logaritmos naturais. Então:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral indefinida é:
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Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Suponha que
Use os métodos do cálculo para determinar a inclinação da reta tangente à curva de no ponto
1 e compare o resultado com o do item (a).
Use os métodos do cálculo para determinar a inclinação da reta tangente à curva de
Calcule os seguintes limites:
Calcule as integrais indefinidas abaixo: