Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral 2x^2+x-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, especificamente sobre integração de frações racionais. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais, que ajudam a simplificar expressões racionais antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) . Fatorar significa escrever o polinômio como um produto de dois binômios. Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então:

Passo 3

Agora, reescrevemos a fração 2(x + 2)(x - 1) = Ax + 2 + Bx - 1 usando frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 2 = A(x - 1) + B(x + 2) para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, vamos achar os valores de 2 = A(1 - 1) + B(1 + 2) Rightarrow 2 = 0 + 3B Rightarrow B = 23 e 2 = A(-2 - 1) + B(-2 + 2) Rightarrow 2 = -3A + 0 Rightarrow A = -23 . Podemos fazer isso escolhendo valores convenientes para .
  • Se :
  • Se :

Passo 6

Agora que temos 2(x + 2)(x - 1) = -23x + 2 + 23x - 1 e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:

Passo 7

Simplificamos um pouco mais:
2(x + 2)(x - 1) = -23 cdot 1x + 2 + 23 cdot 1x - 1

Passo 8

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral 2x^2+x-2 , dx = -23 integral 1x + 2 , dx + 23 integral 1x - 1 , dx

Passo 9

As integrais de -23 ln|x + 2| + 23 ln|x - 1| + C são logaritmos naturais. Então:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
-23 ln|x + 2| + 23 ln|x - 1| + C

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