Calcule as integrais indefinidas abaixo: (2019 / 1) integral tg^3 x sec ^4 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício envolve cálculo de integrais de funções trigonométricas, especificamente utilizando identidades trigonométricas e técnicas de substituição para integrar funções que são potências de tangente ( ) e secante ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão retirando a constante 2019 da integral:
2019 integral tan^3x sec^4x , dx = 2019 cdot I
onde .

Passo 3

Para resolver tan^2x = sec^2x - 1 , vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona tan^3x = tan x cdot tan^2x = tan x (sec^2x - 1) e I = integral tan x (sec^2x - 1) sec^4x , dx = integral tan x sec^6x , dx - integral tan x sec^4x , dx :
Isso nos permite reescrever da seguinte forma:
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a substituição du = sec x tan x , dx Rightarrow tan x , dx = dusec x = duu . Para isso, calculamos a derivada de I = integral sec^6x cdot duu - integral sec^4x cdot duu = integral u^5 cdot duu - integral u^3 cdot duu = integral u^4 du - integral u^2 du :
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral u^4 du = u^55 + C
integral u^2 du = u^33 + C
Portanto,
I = u^55 - u^33 + C

Passo 6

Finalmente, substituímos I = sec^5x5 - sec^3x3 + C de volta na expressão:

Resposta

Assim, a integral original é:
2019 integral tan^3x sec^4x , dx = 2019 ( sec^5x5 - sec^3x3 ) + C
Onde é a constante de integração.

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