Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
. Esse exercício envolve cálculo de integrais de funções trigonométricas, especificamente utilizando identidades trigonométricas e técnicas de substituição para integrar funções que são potências de tangente (
) e secante (
).
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão retirando a constante 2019 da integral:
onde
.
Passo 3
Para resolver
, vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona
e
:
Isso nos permite reescrever
da seguinte forma:
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a substituição
. Para isso, calculamos a derivada de
:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, integramos cada termo separadamente:
Portanto,
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
Assim, a integral original é:
Onde
é a constante de integração.