Calcule as integrais indefinidas abaixo: (2022 / 2) integral tg^3 x sec ^6 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de . Aqui, estamos lidando com integração envolvendo funções trigonométricas, especificamente as funções tangente ( ) e secante ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o fator 1011 integral tan^3 x sec^6 x , dx , que resulta em 1011. Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte da integral: tan^3 x = tan x (sec^2 x - 1) . Sabemos que integral tan x (sec^2 x - 1) sec^6 x , dx = integral tan x (sec^8 x - sec^6 x) , dx . E usando a identidade trigonométrica , podemos reescrever:
Então, substituindo na integral:

Passo 4

Vamos usar uma substituição para simplificar a integral. Seja dudx = sec x tan x implies du = sec x tan x , dx . Então, a derivada de integral (sec^8 x - sec^6 x) tan x , dx = integral (u^8 - u^6) , du em relação a é:
Observamos que temos na nossa integral, que combina perfeitamente com . Reescrevendo a integral em termos de :

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^8 , du - integral u^6 , du = u^99 - u^77 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos (sec x)^99 - (sec x)^77 + C = sec^9 x9 - sec^7 x7 + C de volta por :

Passo 7

Lembrando do fator 1011 que tiramos no começo, multiplicamos todo o resultado por 1011:
1011 ( sec^9 x9 - sec^7 x7 ) + C

Resposta

A integral é igual a
1011 ( sec^9 x9 - sec^7 x7 ) + C

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