Calcule as integrais indefinidas abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de
. Aqui, estamos lidando com integração envolvendo funções trigonométricas, especificamente as funções tangente (
) e secante (
). Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, simplificamos o fator
, que resulta em 1011. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte da integral:
. Sabemos que
. E usando a identidade trigonométrica
, podemos reescrever:
Então, substituindo na integral:
Passo 4
Vamos usar uma substituição para simplificar a integral. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Observamos que temos
na nossa integral, que combina perfeitamente com
. Reescrevendo a integral em termos de
:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituímos
de volta por
:
Passo 7
Lembrando do fator 1011 que tiramos no começo, multiplicamos todo o resultado por 1011:
Resposta
A integral é igual a