Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral indefinida:
Isso significa que vamos encontrar uma função cuja derivada seja
. Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de substituição em integrais envolvendo raízes quadradas e potências de
.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão da integral. Primeiro, o fator
é apenas um múltiplo constante, então podemos colocá-lo fora da integral:
Passo 3
Agora, para resolver a integral
, vamos usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
Passo 4
Com
, precisamos encontrar
em termos de
:
Passo 5
Observando a expressão de
, queremos isolar
. Assim, temos:
Passo 6
Substituímos
e
na integral original:
No entanto, ainda temos
em termos de
. Sabemos que:
Passo 7
Substituindo
na integral:
Essa integral pode ser resolvida usando uma tabela de integrais ou técnicas avançadas, mas para simplificar, vamos reconhecer que essa forma não é a mais conveniente para resolver diretamente.
Passo 8
Vamos tentar uma outra substituição mais eficiente. Retornando à integral original:
Vamos definir:
Então:
Passo 9
Substituindo na integral:
Sabendo que
, temos:
Então:
Passo 10
Agora, fazemos uma última substituição para resolver a integral:
Substituindo na integral:
Passo 11
Agora, voltamos à variável original
. Lembrando que
, temos:
Passo 12
Finalmente, multiplicamos pelo fator constante
:
Resposta
A integral indefinida é: