Calcule as integrais indefinidas abaixo: (2019 / 1) integral 1x^2 raizx^2+4 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral indefinida:
20191 integral 1x^2 raizx^2+4 , dx
Isso significa que vamos encontrar uma função cuja derivada seja . Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de substituição em integrais envolvendo raízes quadradas e potências de .

Passo 2

Vamos simplificar a expressão da integral. Primeiro, o fator 2019 integral 1x^2 raizx^2+4 , dx é apenas um múltiplo constante, então podemos colocá-lo fora da integral:

Passo 3

Agora, para resolver a integral u = raizx^2 + 4 , vamos usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Vamos definir:

Passo 4

Com u = (x^2 + 4)^1/2 du = 12 (x^2 + 4)^-1/2 cdot 2x , dx du = xraizx^2 + 4 , dx , precisamos encontrar em termos de :

Passo 5

Observando a expressão de dx = raizx^2 + 4x , du , queremos isolar . Assim, temos:

Passo 6

Substituímos integral 1x^2 u cdot ux , du = integral 1x^3 , du e u = raizx^2 + 4 u^2 = x^2 + 4 x^2 = u^2 - 4 x = raizu^2 - 4 na integral original:
No entanto, ainda temos em termos de . Sabemos que:

Passo 7

Substituindo integral 1(raizu^2 - 4)^3 , du = integral 1(u^2 - 4)^3/2 , du na integral:
Essa integral pode ser resolvida usando uma tabela de integrais ou técnicas avançadas, mas para simplificar, vamos reconhecer que essa forma não é a mais conveniente para resolver diretamente.

Passo 8

Vamos tentar uma outra substituição mais eficiente. Retornando à integral original:
integral 1x^2 raizx^2 + 4 , dx
Vamos definir:
t = 1x
Então:
dt = -1x^2 , dx -1x^2 , dx = dt dx = -x^2 , dt = -1t^2 , dt

Passo 9

Substituindo na integral:
integral 1x^2 raizx^2 + 4 , dx = integral 1x^2 raiz1t^2 + 4 cdot (-1t^2) , dt = -integral 1x^2 cdot 1raiz1 + 4t^2t^2 cdot 1t^2 , dt = -integral 1x^2 cdot traiz1 + 4t^2 cdot 1t^2 , dt = -integral 1x^2 cdot 1t raiz1 + 4t^2 , dt
Sabendo que x^2 = 1t^2 Rightarrow 1x^2 = t^2 , temos:
-integral t^2 cdot 1t raiz1 + 4t^2 , dt = -integral traiz1 + 4t^2 , dt
Então:

Passo 10

Agora, fazemos uma última substituição para resolver a integral:
u = 1 + 4t^2 du = 8t , dt du8 = t , dt
Substituindo na integral:
- integral traiz1 + 4t^2 , dt = -18 integral 1raizu , du = -18 cdot 2 raizu + C = -14 raiz1 + 4t^2 + C

Passo 11

Agora, voltamos à variável original -14 raiz1 + 4t^2 + C = -14 raiz1 + 4x^2 + C = -14 cdot raizx^2 + 4x + C . Lembrando que , temos:

Passo 12

Finalmente, multiplicamos pelo fator constante 2019 cdot ( -raizx^2 + 44x ) + C = -20194 cdot raizx^2 + 4x + C :

Resposta

A integral indefinida é:
-20194 cdot raizx^2 + 4x + C

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