Seja U=2 x^3 y-3 y^2 z. Calcule a derivada direcional de U em P=(1,2,-1) em direção de P a Q(3,-1,5).
R: partial Upartial u=487

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do ponto . Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas direcionais, vetores de direção e como calcular o gradiente de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor que vai de PQ = Q - P = (3-1, -1-2, 5-(-1)) = (2, -3, 6) até . Isso é feito subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora, vamos transformar esse vetor em um vetor unitário, que vai nos dar a direção correta para a derivada direcional. Para isso, calculamos o módulo do vetor |PQ| = raiz2^2 + (-3)^2 + 6^2 = raiz4 + 9 + 36 = raiz49 = 7 :
u = ( 27, -37, 67 )
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o gradiente da função nabla U = ( partial Upartial x, partial Upartial y, partial Upartial z ) . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de partial Upartial x = partialpartial x (2x^3y - 3y^2z) = 6x^2y :
partial Upartial y = partialpartial y (2x^3y - 3y^2z) = 2x^3 - 6yz
Vamos calcular cada derivada parcial:
partial Upartial z = partialpartial z (2x^3y - 3y^2z) = -3y^2
nabla U = (6x^2y, 2x^3 - 6yz, -3y^2)
Então, o gradiente é:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto nabla U|P = (6(1)^2(2), 2(1)^3 - 6(2)(-1), -3(2)^2 ) = (12, 2 + 12, -12) = (12, 14, -12) :

Passo 6

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente no ponto partial Upartial u = nabla U|P cdot u = (12)(27) + (14)(-37) + (-12)(67) com o vetor unitário = 247 - 427 - 727 = 24 - 42 - 727 = -907 = -907 :
Calculando cada termo:

Resposta

A derivada direcional de em na direção de a é .

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