Seja
. Calcule a derivada direcional de
em
em direção de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do ponto
. Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas direcionais, vetores de direção e como calcular o gradiente de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor que vai de
até
. Isso é feito subtraindo as coordenadas de
das coordenadas de
:
Passo 3
Agora, vamos transformar esse vetor em um vetor unitário, que vai nos dar a direção correta para a derivada direcional. Para isso, calculamos o módulo do vetor
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 6
Por fim, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente no ponto
com o vetor unitário
:
Calculando cada termo:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção de
a
é
.