Calcule as integrais indefinidas abaixo:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral indefinida da expressão
, e antes disso, multiplicamos por um fator
. Vamos precisar usar técnicas de integração envolvendo substituição trigonométrica porque temos uma raiz quadrada de uma expressão quadrática.
Passo 2
Vamos simplificar o fator constante primeiro.
. Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, analisamos a integral
. Para resolver, podemos usar a substituição
.
Passo 4
Definindo
, vamos derivar ambos os lados para encontrar
:
No entanto, notamos que temos
no numerador, mas na nossa integral original temos
. Para ajustar isso, podemos rearranjar a expressão.
Passo 5
Reescrevemos a integral:
Usando a expressão de
que encontramos:
Passo 6
Substituindo
na integral:
Mas isso parece complicar mais. Vamos tentar outra substituição mais adequada.
Passo 7
Vamos tentar uma substituição trigonométrica. Observe que
se assemelha a
, sugerindo a substituição
, já que
.
Passo 8
Definindo
, então:
E:
Passo 9
Substituindo na integral:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Sabemos que
e
, então:
Portanto, a integral fica:
Passo 11
Sabemos que
. Então:
Passo 12
Agora, voltamos à variável original
. Como
, temos que
, e:
Portanto:
Passo 13
Finalmente, multiplicamos pela constante inicial
: