Calcule as integrais indefinidas abaixo: (2022 / 2) integral 1x^2 raizx^2+16 d x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral indefinida da expressão , e antes disso, multiplicamos por um fator . Vamos precisar usar técnicas de integração envolvendo substituição trigonométrica porque temos uma raiz quadrada de uma expressão quadrática.

Passo 2

Vamos simplificar o fator constante primeiro. 1011 integral 1x^2 raizx^2+16 , dx . Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, analisamos a integral . Para resolver, podemos usar a substituição .

Passo 4

Definindo u = raizx^2 + 16 du = xraizx^2 + 16 , dx , vamos derivar ambos os lados para encontrar :
No entanto, notamos que temos no numerador, mas na nossa integral original temos . Para ajustar isso, podemos rearranjar a expressão.

Passo 5

Reescrevemos a integral:
integral 1x^2 raizx^2+16 , dx = integral 1x^2 u , dx
Usando a expressão de du = xu , dx Rightarrow dx = ux , du que encontramos:

Passo 6

Substituindo integral 1x^2 u cdot ux , du = integral 1x^3 , du na integral:
Mas isso parece complicar mais. Vamos tentar outra substituição mais adequada.

Passo 7

Vamos tentar uma substituição trigonométrica. Observe que se assemelha a , sugerindo a substituição , já que .

Passo 8

Definindo dx = 4 sec^2theta , dtheta , então:
raizx^2 + 16 = raiz16 tan^2theta + 16 = raiz16 (tan^2theta + 1) = 4 sectheta
E:

Passo 9

Substituindo na integral:
integral 1(4 tantheta)^2 cdot 4 sectheta cdot 4 sec^2theta , dtheta = integral 116 tan^2theta cdot 4 sectheta cdot 4 sec^2theta , dtheta

Passo 10

Simplificando a expressão:
integral 4 sec^2theta64 tan^2theta sectheta , dtheta = integral sectheta16 tan^2theta , dtheta
Sabemos que secthetatan^2theta = 1/costhetasin^2theta/cos^2theta = costhetasin^2theta = cottheta csctheta e 116 integral cottheta csctheta , dtheta , então:
Portanto, a integral fica:

Passo 11

Sabemos que 116 (-csctheta) + C = -116 csctheta + C . Então:

Passo 12

Agora, voltamos à variável original csctheta = 1sintheta = raizx^2 + 16x . Como -116 csctheta = -116 cdot raizx^2 + 16x , temos que , e:
Portanto:

Passo 13

Finalmente, multiplicamos pela constante inicial 1011 ( -raizx^2 + 1616 x ) + C = -101116 cdot raizx^2 + 16x + C :

Resposta

-101116 cdot raizx^2 + 16x + C

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