Vimos em sala que se
, então
Com base nesta desigualdade, calcule
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem uma desigualdade envolvendo as funções seno (
) e cosseno (
) para valores de
próximos de zero. O exercício quer que a gente use essa desigualdade para calcular o limite:
Então, vamos precisar saber um pouco sobre limites, funções trigonométricas e como manipular essas expressões para encontrar o resultado desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a desigualdade que foi dada:
Essa desigualdade nos diz que, para valores de
próximos de zero (mas diferentes de zero), o valor de
está sempre entre
e 1.
Passo 3
Nosso objetivo é calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Para isso, vamos manipular a expressão para relacioná-la com a desigualdade que temos.
Primeiro, podemos reescrever o numerador:
Então, a expressão do limite fica:
Passo 4
Agora, vamos usar a desigualdade que temos para
:
Subtraindo 1 de todos os lados:
Multiplicando por -1 (e invertendo as desigualdades):
Então, podemos escrever:
Passo 5
Agora, analisamos os limites das extremidades quando
tende a 0.
Sabemos que:
Portanto, pelo Teorema do Aperto (ou Teorema de Sanduíche), temos:
Isso implica que:
Resposta
O limite é igual a
.