Vimos em sala que se 0<|x|, então
cos x
Com base nesta desigualdade, calcule
lim x 0 x-sen xx^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem uma desigualdade envolvendo as funções seno ( lim x 0 x-sen xx^2 ) e cosseno ( ) para valores de próximos de zero. O exercício quer que a gente use essa desigualdade para calcular o limite:
Então, vamos precisar saber um pouco sobre limites, funções trigonométricas e como manipular essas expressões para encontrar o resultado desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a desigualdade que foi dada:
cos x < sen xx < 1 para 0 < |x| < pi2
Essa desigualdade nos diz que, para valores de próximos de zero (mas diferentes de zero), o valor de está sempre entre e 1.

Passo 3

Nosso objetivo é calcular o limite de x - sen x = x (1 - sen xx) quando x - sen xx^2 = 1 - sen xxx se aproxima de 0. Para isso, vamos manipular a expressão para relacioná-la com a desigualdade que temos.
Primeiro, podemos reescrever o numerador:
Então, a expressão do limite fica:

Passo 4

Agora, vamos usar a desigualdade que temos para cos x < sen xx < 1 :
cos x - 1 < sen xx - 1 < 0
Subtraindo 1 de todos os lados:
0 < 1 - sen xx < 1 - cos x
Multiplicando por -1 (e invertendo as desigualdades):
0 < 1 - sen xxx < 1 - cos xx
Então, podemos escrever:

Passo 5

Agora, analisamos os limites das extremidades quando limx to 0 1 - cos xx = 0 tende a 0.
Sabemos que:
limx to 0 1 - sen xxx = 0
Portanto, pelo Teorema do Aperto (ou Teorema de Sanduíche), temos:
limx to 0 x - sen xx^2 = 0
Isso implica que:

Resposta

O limite é igual a .

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