Calcule as integrais indefinidas abaixo: (2022 / 1) integral tg^5 x sec ^4 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é o cálculo de uma integral indefinida que envolve funções trigonométricas. O enunciado é:
2022 integral tan^5 x sec^4 x , dx
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração envolvendo substituição trigonométrica e identidades trigonométricas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Observe que temos potências ímpares de 2022 integral tan^4 x cdot tan x cdot sec^4 x , dx . Isso é útil porque podemos usar uma identidade trigonométrica para facilitar a substituição. Vamos reescrever como :

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:
tan^2 x = sec^2 x - 1
Usando essa identidade, podemos expressar tan^4 x = (sec^2 x - 1)^2 como 2022 integral (sec^2 x - 1)^2 cdot tan x cdot sec^4 x , dx :
Substituindo isso na nossa integral:

Passo 4

Agora, vamos escolher uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar:
u = sec x
Então, a derivada de dudx = sec x tan x Rightarrow du = sec x tan x , dx em relação a 2022 integral (sec^2 x - 1)^2 cdot sec^3 x cdot tan x , dx = 2022 integral (u^2 - 1)^2 cdot u^3 , du é:
Observamos que temos na nossa integral, o que corresponde a . Vamos reescrever a integral em termos de :

Passo 5

Agora, vamos expandir (u^2 - 1)^2 = u^4 - 2u^2 + 1 :
(u^4 - 2u^2 + 1) cdot u^3 = u^7 - 2u^5 + u^3
Multiplicando por 2022 integral (u^7 - 2u^5 + u^3) , du :
Agora, nossa integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral u^7 , du = u^88
integral -2u^5 , du = -2 cdot u^66 = -u^63
integral u^3 , du = u^44
Assim, a integral completa é:
2022 ( u^88 - u^63 + u^44 ) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos substituir u = sec x Rightarrow u^8 = sec^8 x, u^6 = sec^6 x, u^4 = sec^4 x de volta para 2022 ( sec^8 x8 - sec^6 x3 + sec^4 x4 ) + C :
Substituindo na expressão:

Resposta

A solução da integral é:
20228 sec^8 x - 20223 sec^6 x + 20224 sec^4 x + C
Ou, simplificando as frações:
252.75 sec^8 x - 674 sec^6 x + 505.5 sec^4 x + C

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