Calcule as integrais indefinidas abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é o cálculo de uma integral indefinida que envolve funções trigonométricas. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração envolvendo substituição trigonométrica e identidades trigonométricas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Observe que temos potências ímpares de
. Isso é útil porque podemos usar uma identidade trigonométrica para facilitar a substituição. Vamos reescrever
como
:
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:
Usando essa identidade, podemos expressar
como
:
Substituindo isso na nossa integral:
Passo 4
Agora, vamos escolher uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Observamos que temos
na nossa integral, o que corresponde a
. Vamos reescrever a integral em termos de
:
Passo 5
Agora, vamos expandir
:
Multiplicando por
:
Agora, nossa integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Assim, a integral completa é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos substituir
de volta para
:
Substituindo na expressão:
Resposta
A solução da integral é:
Ou, simplificando as frações: