Calcule as integrais indefinidas abaixo: (2022 / 1) integral 3 x+1x^2-1 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Isso é uma diferença de quadrados, que podemos fatorar assim:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 3x + 1(x - 1)(x + 1) = Ax - 1 + Bx + 1 em frações parciais. Isso significa que queremos escrever:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar 3x + 1 = A(x + 1) + B(x - 1) e 3(1) + 1 = A(2) + B(0) implies 4 = 2A implies A = 2 , multiplicamos ambos os lados da equação por 3(-1) + 1 = A(0) + B(-2) implies -2 = -2B implies B = 1 :
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :

Passo 5

Agora que temos 3x + 1x^2 - 1 = 2x - 1 + 1x + 1 e integral 2x - 1 , dx + integral 1x + 1 , dx = 2 ln|x - 1| + ln|x + 1| + C , podemos reescrever a fração original:
Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 6

Por fim, lembrando que tínhamos uma constante multiplicando a integral original, que é 2022:
2022 times (2 ln|x - 1| + ln|x + 1|) + C

Resposta

A integral é igual a .

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