Calcule o limite lim x +infty x^3+3 x-12 x^3-6 x+1 e mostre que existe N>0 tal que
x >= N Longrightarrow 14

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o limite da função quando cresce sem parar, ou seja, quando vai para o infinito. Depois, vamos mostrar que essa fração fica entre e a partir de certo ponto . Para resolver isso, vamos lembrar uns conceitos de limites de funções racionais, principalmente olhando os termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é , e no denominador também é . Quando cresce bastante, esses termos dominam o comportamento da função.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite. Como os termos de maior grau são limx to +infty x^3+3x-12x^3-6x+1 = 12 no numerador e no denominador, o limite da função quando vai para o infinito será o coeficiente do no numerador dividido pelo coeficiente do no denominador. Ou seja:

Passo 4

Agora que sabemos que o limite é , queremos provar que existe um número tal que, para todo maior ou igual a , a fração está entre e .

Passo 5

Para isso, vamos reescrever a desigualdade que queremos provar:
14 < x^3+3x-12x^3-6x+1 < 34
Vamos analisar cada parte separadamente.

Passo 6

Primeiro, vamos resolver 4(x^3+3x-1) > 2x^3-6x+1 . Multiplicando ambos os lados por 4x^3 + 12x - 4 > 2x^3 - 6x + 1 2x^3 + 18x - 5 > 0 (que é positivo para grande), temos:
Simplificando:
Para suficientemente grande, isso é verdadeiro.

Passo 7

Agora, vamos resolver 4(x^3+3x-1) < 3(2x^3-6x+1) . Multiplicando ambos os lados por 4x^3 + 12x - 4 < 6x^3 - 18x + 3 -2x^3 + 30x - 7 < 0 2x^3 - 30x + 7 > 0 :
Simplificando:
Para suficientemente grande, isso também é verdadeiro.

Passo 8

Então, combinando as duas partes, existe um tal que para todo , a fração fica entre e .

Resposta

O limite da função é e existe um número tal que, para todo , .

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