Calcule o limite
e mostre que existe
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o limite da função
quando
cresce sem parar, ou seja, quando
vai para o infinito. Depois, vamos mostrar que essa fração fica entre
e
a partir de certo ponto
. Para resolver isso, vamos lembrar uns conceitos de limites de funções racionais, principalmente olhando os termos de maior grau no numerador e no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é
, e no denominador também é
. Quando
cresce bastante, esses termos dominam o comportamento da função.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite. Como os termos de maior grau são
no numerador e
no denominador, o limite da função quando
vai para o infinito será o coeficiente do
no numerador dividido pelo coeficiente do
no denominador. Ou seja:
Passo 4
Agora que sabemos que o limite é
, queremos provar que existe um número
tal que, para todo
maior ou igual a
, a fração
está entre
e
.
Passo 5
Para isso, vamos reescrever a desigualdade que queremos provar:
Vamos analisar cada parte separadamente.
Passo 6
Primeiro, vamos resolver
. Multiplicando ambos os lados por
(que é positivo para
grande), temos:
Simplificando:
Para
suficientemente grande, isso é verdadeiro.
Passo 7
Agora, vamos resolver
. Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Para
suficientemente grande, isso também é verdadeiro.
Passo 8
Então, combinando as duas partes, existe um
tal que para todo
, a fração
fica entre
e
.
Resposta
O limite da função é
e existe um número
tal que, para todo
,
.