Sejam f e g funções definidas em [a,+infty] tais que g(x) neq 0, para todo x >= a, lim x +infty f(x)g(x) para algum L in R, e lim x +infty g(x)=0. Calcule o valor de lim x +infty f(x).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções, e , definidas a partir de um ponto até o infinito. Sabemos que nunca é zero nesse intervalo. O que precisamos encontrar é o limite de quando tende ao infinito, usando as informações que nos dão sobre os limites de e de .
Aqui, vamos usar conceitos de limites de funções e propriedades de limites, especialmente como lidar com o limite de uma razão de funções e o limite de um produto de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão f(x)g(x) L quando x +infty de uma maneira que nos ajude a aplicar os limites que já conhecemos. Sabemos que:
f(x) = g(x) cdot f(x)g(x)
Isso significa que podemos isolar :

Passo 3

Agora, vamos aplicar o limite quando limx +infty f(x) = limx +infty ( g(x) cdot f(x)g(x) ) tende ao infinito em ambos os lados da igualdade que encontramos:
limx +infty f(x) = ( limx +infty g(x) ) cdot ( limx +infty f(x)g(x) )
Pela propriedade dos limites do produto, o limite do produto é igual ao produto dos limites, desde que ambos existam. Ou seja:
limx +infty g(x) = 0 e limx +infty f(x)g(x) = L
Sabemos que:

Passo 4

Substituindo esses limites na expressão:
limx +infty f(x) = 0 cdot L = 0

Resposta

limx +infty f(x) = 0

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