Sejam
e
funções definidas em
tais que
, para todo
para algum
, e
. Calcule o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções,
e
, definidas a partir de um ponto
até o infinito. Sabemos que
nunca é zero nesse intervalo. O que precisamos encontrar é o limite de
quando
tende ao infinito, usando as informações que nos dão sobre os limites de
e de
.
Aqui, vamos usar conceitos de limites de funções e propriedades de limites, especialmente como lidar com o limite de uma razão de funções e o limite de um produto de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
de uma maneira que nos ajude a aplicar os limites que já conhecemos. Sabemos que:
Isso significa que podemos isolar
:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o limite quando
tende ao infinito em ambos os lados da igualdade que encontramos:
Pela propriedade dos limites do produto, o limite do produto é igual ao produto dos limites, desde que ambos existam. Ou seja:
Sabemos que:
Passo 4
Substituindo esses limites na expressão: