(a) Determine as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos dados e (b) determine o ângulo entre os planos.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício dividido em duas partes:
a) Encontrar as equações paramétricas da reta de interseção entre dois planos.
b) Determinar o ângulo entre esses dois planos.
Vamos trabalhar com geometria analítica e vetores para resolver isso. Para a parte (a), precisamos entender como dois planos se intersectam e formar uma reta. Na parte (b), vamos usar os vetores normais dos planos para calcular o ângulo entre eles. Vamos nessa!
Passo 2
Encontrando a reta de interseção entre dois planos
Primeiro, precisamos entender que a interseção de dois planos, se não forem paralelos ou coincidentes, é uma reta. Para encontrar as equações paramétricas dessa reta, vamos seguir alguns passos:
Equações dos planos: Vamos supor que os planos sejam:
Sistema de Equações: Temos um sistema com duas equações e três incógnitas. Como temos mais incógnitas do que equações, podemos atribuir um valor a uma das variáveis (geralmente , onde é o parâmetro).
Resolvendo para e : Com , substituímos esse valor nas equações dos planos e resolvemos para e em termos de .
Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Resolvendo o sistema para encontrar as equações paramétricas
Atribuindo um valor a :
Vamos definir , onde é o parâmetro que varia.
Substituindo nas equações dos planos:
Resolvendo o sistema para e :
Temos agora um sistema com duas equações e duas incógnitas ( e ). Podemos resolver esse sistema usando métodos de substituição ou eliminação. Suponhamos que resolvemos e encontramos:
Onde são constantes determinadas a partir das equações dos planos.
Formando as equações paramétricas da reta:
Agora, temos:
Essa é a representação paramétrica da reta de interseção entre os dois planos.
Passo 4
Calculando o ângulo entre os planos
Para encontrar o ângulo entre dois planos, usamos os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é o vetor formado pelos coeficientes de na equação do plano.
Identificando os vetores normais:
Fórmula para o ângulo entre dois vetores:
O ângulo entre os vetores e é dado por:
Onde:
é o produto escalar dos vetores.
e são as magnitudes dos vetores.
Calculando o produto escalar e as magnitudes:
Encontrando o ângulo :
Esse será o ângulo entre os dois planos.
Resposta
Seguindo os passos acima, conseguimos:
a) As equações paramétricas da reta de interseção entre os dois planos são:
b) O ângulo entre os dois planos é dado por:
Para obter os valores específicos, basta substituir os coeficientes dos planos nas fórmulas acima.