Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(d) integral x raiz3 x^2+1 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de . Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é muito útil quando a integral contém uma função composta.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = 3x^2 + 1
Isso nos ajudará a transformar a integral em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 6x em relação a du = 6x , dx :
x , dx = du6
Isso significa que:
Ou seja:

Passo 4

Substituindo integral x raiz3x^2 + 1 , dx = integral raizu cdot du6 = 16 integral raizu , du e na integral original, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral u^n , du = u^n+1n+1 + C . Sabemos que:
integral raizu , du = integral u^12 , du = u^3232 + C = 23 u^32 + C
Aqui, , então:

Passo 6

Substituindo de volta na nossa expressão anterior:
16 integral raizu , du = 16 cdot 23 u^32 + C = 19 u^32 + C

Passo 7

Finalmente, lembrando que 19 u^32 + C = 19 (3x^2 + 1)^32 + C , substituímos de volta:

Resposta

A integral indefinida é:
19 ( 3x^2 + 1 )^32 + C

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