Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(m) integral x-2(x+1)(x-1) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral x-2(x+1)(x-1) , dx. Para isso, vamos usar o método de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, precisamos decompor a fração x-2(x+1)(x-1) em frações mais simples. Vamos supor que:
x-2(x+1)(x-1) = Ax+1 + Bx-1

Passo 3

Agora, vamos determinar os valores de A e B. Multiplicando ambos os lados da equação por (x+1)(x-1) para eliminar os denominadores, temos:
x - 2 = A(x - 1) + B(x + 1)
Explicando isso: estamos distribuindo os fatores para igualar os numeradores.

Passo 4

Expandindo e agrupando os termos semelhantes:
x - 2 = A x - A + B x + B x - 2 = (A + B)x + (-A + B)
Isso nos leva ao sistema de equações:
A + B = 1 -A + B = -2

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: A = 1 - B
  2. Substituindo na segunda equação: -(1 - B) + B = -2 -1 + B + B = -2 2B = -1 B = -12
  3. Substituindo o valor de B na primeira equação: A = 1 - (-12) = 32

Passo 6

Com os valores de A e B determinados, a fração original se torna:
x-2(x+1)(x-1) = 32x+1 + -12x-1 = 32(x+1) - 12(x-1)

Passo 7

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 32(x+1) , dx - integral 12(x-1) , dx
Sabendo que integral 1x , dx = ln|x| + C, temos:
32 ln|x+1| - 12 ln|x-1| + C

Resposta

A integral indefinida é:
32 ln|x+1| - 12 ln|x-1| + C

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