Calcule as integrais indefinidas abaixo.
§ integral x-5x^2-2 x+5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais, mais especificamente envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de decomposição de frações e completar o quadrado no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador . Para simplificar, vamos completar o quadrado. Isso significa reescrever a expressão de forma que possamos identificar facilmente uma forma quadrática completa.

Passo 3

Completar o quadrado para x^2 - 2x + 5 = (x^2 - 2x + 1) + 4 = (x - 1)^2 + 4 :
integral x - 5(x - 1)^2 + 4 , dx
Agora, a integral fica:

Passo 4

Vamos dividir o numerador x - 5 = (x - 1) - 4 de forma que possamos separar a fração em duas partes mais fáceis de integrar:
integral (x - 1) - 4(x - 1)^2 + 4 , dx = integral x - 1(x - 1)^2 + 4 , dx - 4 integral 1(x - 1)^2 + 4 , dx
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral x - 1(x - 1)^2 + 4 , dx
Aqui, fazemos a substituição 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C = 12 ln((x - 1)^2 + 4) + C , então -4 integral 1(x - 1)^2 + 4 , dx . Observamos que integral 1u^2 + a^2 , du = 1a arctan(ua) + C . Então:
-4 cdot 12 arctan(x - 12) + C = -2 arctan(x - 12) + C
Segunda integral:
Aqui, reconhecemos a forma da integral que resulta em uma função arctangente. A fórmula é:
Aplicando isso:

Resposta

A integral 12 ln((x - 1)^2 + 4) - 2 arctan(x - 12) + C é igual a:

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