Calcule as integrais indefinidas abaixo:
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral .
Conteúdo da matéria: Vamos usar técnicas de integração que envolvem substituição e manipulação algébrica.
O que precisamos: Vamos precisar completar o quadrado no denominador e ajustar o numerador para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador . Para simplificar, vamos completar o quadrado:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos ajustar o numerador para que ele se relacione com o denominador. Observamos que a derivada de é . Queremos escrever em termos de :
Então, a integral fica dividida em dois termos:

Passo 4

Vamos resolver o primeiro termo:
Aqui, fazemos a substituição:
Então,
A integral se torna:

Passo 5

Agora, vamos resolver o segundo termo:
Usando a forma que completamos o quadrado anteriormente:
Fatorando 4 dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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Construa o gráfico e calcule a área da região limitada pelas curvas .
Considere .
Determinar .
Encontre .