Calcule as integrais indefinidas abaixo:
d) integral 5 x+3raiz4 x^2+3 x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral .
Conteúdo da matéria: Vamos usar técnicas de integração que envolvem substituição e manipulação algébrica.
O que precisamos: Vamos precisar completar o quadrado no denominador e ajustar o numerador para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador 4x^2 + 3x + 1 = 4(x^2 + 34x) + 1. Para simplificar, vamos completar o quadrado:
x^2 + 34x = (x + 38)^2 - 964
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
4x^2 + 3x + 1 = 4((x + 38)^2 - 964) + 1 = 4(x + 38)^2 - 916 + 1 = 4(x + 38)^2 + 716
Substituindo de volta:
integral 5x + 3raiz4(x + 38)^2 + 716 , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos ajustar o numerador 5x + 3 = 58(8x + 3) + 98 para que ele se relacione com o denominador. Observamos que a derivada de integral 5x + 3raiz4x^2 + 3x + 1 , dx = 58 integral 8x + 3raiz4x^2 + 3x + 1 , dx + 98 integral 1raiz4x^2 + 3x + 1 , dx é . Queremos escrever em termos de :
Então, a integral fica dividida em dois termos:

Passo 4

Vamos resolver o primeiro termo:
58 integral 8x + 3raiz4x^2 + 3x + 1 , dx
Aqui, fazemos a substituição:
u = 4x^2 + 3x + 1
Então,
dudx = 8x + 3 Rightarrow du = (8x + 3) , dx
A integral se torna:
58 integral duraizu = 58 cdot 2raizu + C = 54 raiz4x^2 + 3x + 1 + C

Passo 5

Agora, vamos resolver o segundo termo:
98 integral 1raiz4x^2 + 3x + 1 , dx
Usando a forma que completamos o quadrado anteriormente:
raiz4x^2 + 3x + 1 = raiz4(x + 38)^2 + 716
Fatorando 4 dentro da raiz:
raiz4(x + 38)^2 + 716 = 2 raiz(x + 38)^2 + 764
Portanto, a integral fica:
98 cdot 12 integral 1raiz(x + 38)^2 + 764 , dx = 916 ln|x + 38 + raiz(x + 38)^2 + 764| + C

Resposta

A integral 54 raiz4x^2 + 3x + 1 + 916 ln|x + 38 + raiz(x + 38)^2 + 764| + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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