Construa o gráfico e calcule a área da região limitada pelas curvas
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é construir o gráfico e calcular a área da região que está delimitada pelas curvas
,
e
. Para isso, vamos trabalhar com gráficos de funções e integração para achar a área entre elas. Primeiro, precisamos descobrir onde essas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Isso vai nos ajudar a definir os limites para calcular a área.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos de interseção entre as curvas. Primeiro, vamos ver onde
se intersecta com
.
Substituímos
na segunda equação:
Vamos isolar a raiz:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado direito:
Rearranjando tudo para um lado da equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
.
Agora, encontramos os valores de
:
Para
:
Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ponto de interseção entre
e
.
Substituímos
na segunda equação:
Isolamos a raiz:
Dividindo ambos os lados por 2:
Elevamos ao quadrado:
Expandindo o lado direito:
Multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar a fração:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
.
Para
:
Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, vamos analisar qual curva está acima ou abaixo das outras no intervalo relevante para calcular a área.
Considerando os pontos de interseção
,
,
e
, vamos dividir a análise em dois intervalos:
- De
a - De
a
No primeiro intervalo,
está acima de
.
No segundo intervalo,
está abaixo de
.
Passo 5
Vamos formular a integral para calcular a área em cada intervalo.
- De
a :
A área é dada por:
- De
a :
A área é dada por:
Passo 6
Vamos resolver as integrais uma por uma.
Primeiro, a integral de
:
Para
, fazemos a substituição
, então
:
Para
:
Agora, avaliamos de 2 a 3:
Simplificando:
Agora, a integral de
:
Calculando cada parte:
Avaliando de 3 a 11:
Simplificando:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área total da região delimitada pelas curvas é de aproximadamente
.
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Considere a função
. Em relação a essa função determine:
Os pontos de máximo e mínimo locais (se houver).
Os pontos de máximo e mínimo locais (se houver).
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d)
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