Construa o gráfico e calcule a área da região limitada pelas curvas .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é construir o gráfico e calcular a área da região que está delimitada pelas curvas , e . Para isso, vamos trabalhar com gráficos de funções e integração para achar a área entre elas. Primeiro, precisamos descobrir onde essas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Isso vai nos ajudar a definir os limites para calcular a área.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos de interseção entre as curvas. Primeiro, vamos ver onde se intersecta com .
Substituímos na segunda equação:
Vamos isolar a raiz:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado direito:
Rearranjando tudo para um lado da equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou .
Agora, encontramos os valores de :
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto de interseção entre e .
Substituímos na segunda equação:
Isolamos a raiz:
Dividindo ambos os lados por 2:
Elevamos ao quadrado:
Expandindo o lado direito:
Multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar a fração:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou .
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, vamos analisar qual curva está acima ou abaixo das outras no intervalo relevante para calcular a área.
Considerando os pontos de interseção , , e , vamos dividir a análise em dois intervalos:
  1. De a
  2. De a
No primeiro intervalo, está acima de .
No segundo intervalo, está abaixo de .

Passo 5

Vamos formular a integral para calcular a área em cada intervalo.
  1. De a :
A área é dada por:
  1. De a :
A área é dada por:

Passo 6

Vamos resolver as integrais uma por uma.
Primeiro, a integral de :
Para , fazemos a substituição , então :
Para :
Agora, avaliamos de 2 a 3:
Simplificando:
Agora, a integral de :
Calculando cada parte:
Avaliando de 3 a 11:
Simplificando:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:

Resposta

A área total da região delimitada pelas curvas é de aproximadamente .

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Considere a função . Em relação a essa função determine:
Os pontos de máximo e mínimo locais (se houver).
Uma escada de 8 m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de , com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 4 m da parede?
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Calcule as integrais indefinidas abaixo:
d)