Explique o teorema do valor médio utilizando os resultados anteriores, que a área abaixo da curva no intervalo dado é igual à área do retângulo.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos explicar o Teorema do Valor Médio usando a ideia de que a área abaixo da curva em um intervalo específico é igual à área de um retângulo. Para isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo, como integrais e médias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a área abaixo da curva. Essa área é calculada usando a integral definida, que representa a soma de infinitas retas pequenas sob a curva da função no intervalo considerado.
Passo 3
Agora, pense em um retângulo que tem a mesma base do intervalo e uma altura igual a um valor específico da função nesse intervalo. A área desse retângulo é dada por:
onde
é um número no intervalo
.
Passo 4
O Teorema do Valor Médio para Integrais nos diz que existe pelo menos um ponto
no intervalo
onde a altura da função
faz com que a área do retângulo seja exatamente igual à área sob a curva da função. Matematicamente, isso é:
Passo 5
Para chegar a esse resultado, imaginamos que a área sob a curva pode ser “replicada” por um único retângulo. O Teorema do Valor Médio garante que tal ponto
existe, mantendo a igualdade das áreas.
Resposta
O Teorema do Valor Médio afirma que existe um ponto
em
onde a área abaixo da curva
é igual à área do retângulo de base
e altura
. Ou seja:
Exercícios relacionados
Construa o gráfico e calcule a área da região limitada pelas curvas
.
Considere a função
. Em relação a essa função determine:
Os pontos de máximo e mínimo locais (se houver).
Os pontos de máximo e mínimo locais (se houver).
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
d)
d)
Considere
.
Determinar .
Determinar