Explique o teorema do valor médio utilizando os resultados anteriores, que a área abaixo da curva no intervalo dado é igual à área do retângulo.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos explicar o Teorema do Valor Médio usando a ideia de que a área abaixo da curva em um intervalo específico é igual à área de um retângulo. Para isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo, como integrais e médias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a área abaixo da curva. Essa área é calculada usando a integral definida, que representa a soma de infinitas retas pequenas sob a curva da função no intervalo considerado.

Passo 3

Agora, pense em um retângulo que tem a mesma base do intervalo e uma altura igual a um valor específico da função nesse intervalo. A área desse retângulo é dada por:
Áâ
onde é um número no intervalo .

Passo 4

O Teorema do Valor Médio para Integrais nos diz que existe pelo menos um ponto no intervalo onde a altura da função faz com que a área do retângulo seja exatamente igual à área sob a curva da função. Matematicamente, isso é:

Passo 5

Para chegar a esse resultado, imaginamos que a área sob a curva pode ser “replicada” por um único retângulo. O Teorema do Valor Médio garante que tal ponto existe, mantendo a igualdade das áreas.

Resposta

O Teorema do Valor Médio afirma que existe um ponto em onde a área abaixo da curva é igual à área do retângulo de base e altura . Ou seja:

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