Considere
.
Determinar
.
Determinar
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar a sua derivada no ponto
, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e a derivação de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função que é o produto de duas funções, usamos a Regra do Produto. Se temos
e
, então a derivada de
é:
No nosso caso,
e
. Vamos derivar cada uma dessas partes separadamente.
Passo 3
Vamos derivar
. Podemos reescrever isso como
. Usando a Regra da Cadeia, a derivada é:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Usando a regra da derivada de funções trigonométricas e a Regra da Cadeia novamente:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos aplicar a Regra do Produto para encontrar
:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 6
Agora vamos substituir
na expressão de
:
Simplificando:
Sabemos que
e
, então:
Passo 7
Vamos simplificar
. Lembrando que:
Então:
Resposta
A derivada de
no ponto
é: