Considere f(x) = raiz(3)(4 x + 6) * cos(2 x).
Determinar f'(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar a sua derivada no ponto , ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e a derivação de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função que é o produto de duas funções, usamos a Regra do Produto. Se temos e , então a derivada de é:
No nosso caso, e . Vamos derivar cada uma dessas partes separadamente.

Passo 3

Vamos derivar . Podemos reescrever isso como . Usando a Regra da Cadeia, a derivada é:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Usando a regra da derivada de funções trigonométricas e a Regra da Cadeia novamente:

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Produto para encontrar :
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

Agora vamos substituir na expressão de :
Simplificando:
Sabemos que e , então:

Passo 7

Vamos simplificar . Lembrando que:
Então:

Resposta

A derivada de no ponto é:

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