Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com integrais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a técnica de integração por partes. Basicamente, essa técnica nos ajuda a integrar produtos de funções que, de outra forma, seriam complicados de integrar diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que vamos chamar de e na fórmula da integração por partes, que é:
No nosso caso, temos a integral . Como é uma constante em relação a , podemos fatorar isso para fora da integral:
Agora, vamos escolher:

Passo 3

Precisamos encontrar , que é a integral de . Para isso, sabemos que:
Portanto,

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a integral que ficou:
Sabemos que:
Então,

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
Vamos distribuir o :

Resposta

A integral é igual a:

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(b) determine a taxa de variação instantânea de em relação a , quando é 4 .
Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(b)
Questão: Seja a área de um quadrado e o comprimento do lado do quadrado.
(a) encontre a taxa de variaçaõ média de em relação a , quando varia de 4 a 4,6 e de 4 a 4,1 ;
Questão: Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que seu volume aumenta à taxa de . Encontre a taxa a que o raio é aumentado quando a bola de neve tem 4 dm de diâmetro.