Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(i) integral t^3 x sec ^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com integrais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a técnica de integração por partes. Basicamente, essa técnica nos ajuda a integrar produtos de funções que, de outra forma, seriam complicados de integrar diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que vamos chamar de integral u , dv = uv - integral v , du e t^3 integral x sec ^4 x , dx na fórmula da integração por partes, que é:
u = x Rightarrow du = dx
No nosso caso, temos a integral dv = sec^4 x , dx Rightarrow v = integral sec^4 x , dx . Como é uma constante em relação a , podemos fatorar isso para fora da integral:
Agora, vamos escolher:

Passo 3

Precisamos encontrar integral sec^4 x , dx = tan x sec^2 x - tan x + C , que é a integral de v = tan x sec^2 x - tan x . Para isso, sabemos que:
Portanto,

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
t^3 [ x (tan x sec^2 x - tan x) - integral (tan x sec^2 x - tan x) , dx ]

Passo 5

Vamos simplificar a integral que ficou:
integral (tan x sec^2 x - tan x) , dx = integral tan x sec^2 x , dx - integral tan x , dx
Sabemos que:
integral tan x sec^2 x , dx = 12 sec^2 x + C
integral tan x , dx = -ln |cos x| + C
Então,
integral (tan x sec^2 x - tan x) , dx = 12 sec^2 x + ln |cos x|

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
t^3 [ x (tan x sec^2 x - tan x) - ( 12 sec^2 x + ln |cos x| ) ] + C
Vamos distribuir o t^3 x tan x sec^2 x - t^3 x tan x - t^32 sec^2 x - t^3 ln |cos x| + C :

Resposta

A integral t^3 x tan x sec^2 x - t^3 x tan x - t^32 sec^2 x - t^3 ln |cos x| + C é igual a:

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