Trace a curva definida por , indique sua orientação e calcule seu comprimento.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por para entre e . Nosso objetivo é traçar essa curva, indicar para qual direção ela está indo (a orientação) e calcular o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, como derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a orientação da curva. A orientação mostra para qual direção a curva está sendo percorrida conforme o parâmetro varia de a . Olhando a função , vemos que aumenta de a , então a trajetória segue nessa direção no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, vamos calcular o comprimento da curva. A fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica de a é:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de em relação a , calcular a norma desse vetor derivado e integrar isso de a .

Passo 4

Vamos encontrar a derivada :
Calculando cada componente:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de :
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 6

Com a norma encontrada, o comprimento da curva é:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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Determine de modo que
Trace a curva definida por , indique sua orientação e calcule seu comprimento.
(a)
Determine de modo que
Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(a) .