Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Vamos calcular a integral indefinida
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição e algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir na integral. Calculando, temos:
Isso nos permite substituir
por
na integral.
Passo 3
Com a substituição feita, a integral original fica:
Agora, precisamos resolver essa nova integral. Para isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar
.
Passo 4
Sabemos que:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeiro, considere:
Fazendo uma nova substituição, seja
. Então, a derivada de
é:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, resolvemos a segunda parte:
Sabemos que a integral de
é:
Passo 7
Juntando as duas partes, temos:
Agora, voltamos à variável original substituindo
:
Resposta
A integral indefinida é: