Calcule as integrais indefinidas abaixo: integral 1theta tg^3(ln theta) d theta

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida integral 1theta tan^3(ln theta) , dtheta. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição e algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir:
u = ln theta
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a theta para substituir na integral. Calculando, temos:
du = 1theta dtheta
Isso nos permite substituir 1theta dtheta por du na integral.

Passo 3

Com a substituição feita, a integral original fica:
integral tan^3(u) , du
Agora, precisamos resolver essa nova integral. Para isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar tan^3(u).

Passo 4

Sabemos que:
tan^3(u) = tan(u) ( sec^2(u) - 1 )
Então, a integral fica:
integral tan(u) sec^2(u) , du - integral tan(u) , du

Passo 5

Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeiro, considere:
integral tan(u) sec^2(u) , du
Fazendo uma nova substituição, seja w = tan(u). Então, a derivada de w é:
dw = sec^2(u) , du
Substituindo na integral:
integral w , dw = w^22 + C = tan^2(u)2 + C

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda parte:
integral tan(u) , du
Sabemos que a integral de tan(u) é:
ln|sec(u)| + C

Passo 7

Juntando as duas partes, temos:
tan^2(u)2 - ln|sec(u)| + C
Agora, voltamos à variável original substituindo u = ln theta:
tan^2(ln theta)2 - ln|sec(ln theta)| + C

Resposta

A integral indefinida é:
tan^2(ln theta)2 - ln|sec(ln theta)| + C

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