Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor. integral0^+infty r e^-r x d x, r>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a integral imprópria converge. Se sim, a gente tem que calcular o valor dessa integral. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias que envolvem limites infinitos. Vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e saber lidar com limites.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função que estamos integrando: . Essa é uma função exponencial decrescente porque o termo diminui conforme aumenta. Sabemos que funções que decaem exponencialmente tendem a “sumir” ou se aproximar de zero conforme vai para o infinito, o que geralmente ajuda na convergência da integral.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a integral realmente converge. Como , o termo diminui para zero quando tende ao infinito. Isso sugere que a área sob a curva da função entre 0 e mais infinito é finita. Para confirmar, podemos calcular a integral.

Passo 4

Vamos calcular a integral integral r e^-r x , dx = -e^-r x + C . Para isso, podemos usar a regra de integração de funções exponenciais. A integral de em relação a é . Então, multiplicando pelo que está na frente, temos:
Agora, vamos avaliar os limites de integração de 0 a mais infinito.

Passo 5

Vamos aplicar os limites:
[-e^-r x]0^+infty = limx to +infty (-e^-r x) - (-e^0) = limx to +infty (-e^-r x) + 1
Sabemos que 0 + 1 = 1 , então:

Resposta

A integral converge e o seu valor é 1.

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