Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a integral imprópria
converge. Se sim, a gente tem que calcular o valor dessa integral. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias que envolvem limites infinitos. Vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e saber lidar com limites.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função que estamos integrando:
. Essa é uma função exponencial decrescente porque o termo
diminui conforme
aumenta. Sabemos que funções que decaem exponencialmente tendem a “sumir” ou se aproximar de zero conforme
vai para o infinito, o que geralmente ajuda na convergência da integral.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a integral realmente converge. Como
, o termo
diminui para zero quando
tende ao infinito. Isso sugere que a área sob a curva da função entre 0 e mais infinito é finita. Para confirmar, podemos calcular a integral.
Passo 4
Vamos calcular a integral
. Para isso, podemos usar a regra de integração de funções exponenciais. A integral de
em relação a
é
. Então, multiplicando pelo
que está na frente, temos:
Agora, vamos avaliar os limites de integração de 0 a mais infinito.
Passo 5
Vamos aplicar os limites:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral
converge e o seu valor é 1.