Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
Passo 1
Beleza, você quer saber se a integral imprópria
converge e, se sim, qual é o valor dela. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. Nesse caso, os limites de integração são infinitos, então precisamos ver se a área sob a curva entre
e
é finita.
Passo 3
A função que estamos integrando é
. Essa é uma função par (simétrica em relação ao eixo y) e está sempre positiva, então a integral vai somar áreas positivas em todo o eixo real.
Passo 4
Sabemos que a integral da forma
de
a
é uma integral que converge e seu valor é
. Aqui,
, então
.
Passo 5
Aplicando essa fórmula no nosso caso, temos:
Resposta
A integral converge e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
Investigar as integrais impróprias: