Calcule as integrais indefinidas abaixo: integral[(1+x^2)^-1 / 2+(1+x^2)^-1] d x

Passo 1

Vamos lá! Você quer calcular a integral indefinida de em relação a . Esse exercício pertence ao cálculo integral, especificamente à integração de funções envolvendo potências de binômios. Para resolver, vamos integrar cada termo separadamente usando métodos de integração conhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar o primeiro termo: integral (1+x^2)^-1 / 2 dx = sinh^-1(x) + C1 .
Esse termo é a forma da derivada da função arco seno hiperbólico, ou seja, , que também pode ser expressa como . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos integrar o segundo termo: integral (1+x^2)^-1 dx = tan^-1(x) + C2 .
Esse termo corresponde à derivada da função arco tangente, . Assim, a integral é:

Resposta

Juntando as duas integrais, temos:
integral [(1+x^2)^-1 / 2 + (1+x^2)^-1] dx = sinh^-1(x) + tan^-1(x) + C

Exercícios relacionados