Calcule as integrais indefinidas abaixo: integral[-(1+x^2)^-1 / 2+(1+x^2)^-1] d x

Passo 1

E aí! Vamos resolver a integral indefinida integral[-(1+x^2)^-1 / 2+(1+x^2)^-1] dx. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções com potências de expressões quadráticas. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas básicas de integração e lembrar de algumas funções conhecidas que têm derivadas relacionadas às expressões que temos na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral [-(1+x^2)^-1 / 2 + (1+x^2)^-1] dx = -integral (1+x^2)^-1 / 2 dx + integral (1+x^2)^-1 dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: -integral (1+x^2)^-1 / 2 dx.
Aqui, reconhecemos que a função (1+x^2)^-1 / 2 é a derivada da função hiperbólica sinh^-1(x), ou equivalente, podemos usar a substituição trigonométrica. A integral de (1+x^2)^-1 / 2 em relação a x é sinh^-1(x), que também pode ser escrita como ln(x + raiz1+x^2).
Portanto:
-integral (1+x^2)^-1 / 2 dx = -sinh^-1(x) + C1 = -ln(x + raiz1+x^2) + C1

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral (1+x^2)^-1 dx.
Essa integral é uma forma conhecida cuja antiderivada é a função arco-tangente. A integral de (1+x^2)^-1 em relação a x é:
integral (1+x^2)^-1 dx = arctan(x) + C2

Passo 5

Agora, juntando as duas partes que integramos:
-ln(x + raiz1+x^2) + arctan(x) + C
Onde C = C1 + C2 é a constante de integração geral.

Resposta

A integral indefinida é igual a -,ln(x + raiz1+x^2) + arctan(x) + C.

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