Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
E aí! Vamos resolver a integral indefinida
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções com potências de expressões quadráticas. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas básicas de integração e lembrar de algumas funções conhecidas que têm derivadas relacionadas às expressões que temos na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral:
.
Aqui, reconhecemos que a função
é a derivada da função hiperbólica
, ou equivalente, podemos usar a substituição trigonométrica. A integral de
em relação a
é
, que também pode ser escrita como
.
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda integral:
.
Essa integral é uma forma conhecida cuja antiderivada é a função arco-tangente. A integral de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, juntando as duas partes que integramos:
Onde
é a constante de integração geral.
Resposta
A integral indefinida é igual a
.