Calcule as integrais indefinidas abaixo: integral[(2 x-5)^2-(x-3)^2] d x

Passo 1

Temos que calcular a integral indefinida de integral[(2x - 5)^2 - (x - 3)^2] dx. Vamos usar conceitos de álgebra para expandir os termos ao quadrado e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir os dois quadrados:
(2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 cdot 2x cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25
(x - 3)^2 = x^2 - 2 cdot x cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9

Passo 3

Agora, substituímos as expansões na integral original:
integral[(4x^2 - 20x + 25) - (x^2 - 6x + 9)] dx

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da integral:
4x^2 - 20x + 25 - x^2 + 6x - 9 = 3x^2 - 14x + 16
Então, a integral fica:
integral (3x^2 - 14x + 16) dx

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente usando a regra básica da integral:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
integral 3x^2 dx = 3 cdot x^33 = x^3
integral -14x dx = -14 cdot x^22 = -7x^2
integral 16 dx = 16x

Passo 6

Somando todas as integrais:
x^3 - 7x^2 + 16x + C

Resposta

A integral indefinida é x^3 - 7x^2 + 16x + C, onde C é a constante de integração.

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